Raíz cuadrada de cinco

Question

Jugando con Arce, me di cuenta de que se le da a la raíz cuadrada de $c = 1+\frac{\sqrt3}{2}$ igual a $a = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}$.

De hecho, se comprueba. Pero me picó la curiosidad: ¿cómo puedo encontrar ese valor, o más generalmente, la raíz cuadrada de números de la forma $x+y\sqrt{k}$?

Yo era capaz de hacerlo de la siguiente manera: el cuadrado de $z = x+y\sqrt{k}$ es también de la misma forma. Por lo tanto, puedo suponer que hay un número de formulario cuyo cuadrado es igual a $z$.

En mi caso, quiero encontrar a $(x,y)$ tal que $(x+y\sqrt3)^2 = 1+\frac{\sqrt3}{2}$. He desarrollado, que los rendimientos de $(x^2+3y^2) + 2xy\sqrt3 = 1+\frac{\sqrt3}{2}$. Entonces me coincidía con la de los coeficientes de $1$ e de $\sqrt3$ en ambos lados, para obtener el sistema:

$x^2+3y^2 = 1$

$2xy = \frac{1}{2}$

La solución para $x$$y$, conseguí $x = ±\frac{1}{2}$ $y = ±\frac{1}{2}$ (hay otro par de soluciones informáticas para el mismo número). QED.

Es mi método correcto? ¿Hay alguna forma más eficiente? Es posible demostrar que una solución de la forma $z = x+y\sqrt{k}$ siempre existen y si no, ¿cuándo?

Gracias.

Answer 1

Para racionales $x,y,a,b,k$ donde $k$ es de planta cuadrada y libre de $y \ne 0$, $(a + b \sqrt{k})^2 = x + y \sqrt{k}$ si y sólo si $a^2 + k b^2 = x$$2 a b = y$, y por lo tanto $b = y/(2a)$ y $a^2 + k y^2/(4 a^2) = x$, es decir,$(2 a^2 - x)^2 = x^2 - k y^2$. Por lo tanto $x^2 - k y^2$ debe ser el cuadrado de un racional, y si es $r^2$ $(x \pm r)/2$ debe ser el cuadrado de un racional.

En tu ejemplo, $x=1, y=1/2, k=3$, $x^2 - k y^2 = 1 - 3/4 = 1/4 = (1/2)^2$ y $(1 - 1/2)/2 = (1/2)^2$, lo $1 + \sqrt{3}/2$ es un cuadrado.

Por otro lado, para $x=3, y=1, k=5$, $x^2 - k y^2 = 9 - 5 = 2^2$ pero $(3 - 2)/2 = 1/2$ $(3+2)/2 = 5/2$ no son cuadrados, por lo $3 + \sqrt{5}$ no es el cuadrado de una expresión de la forma $a + b \sqrt{5}$ $a$ $b$ racional (en el otro lado, está la plaza de $\sqrt{10}/2 + \sqrt{2}/2$).

Answer 2

Más simple que el de coeficientes indeterminados es la regla siguiente descubrí como un adolescente.

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Simple Almacenaje Regla De $\rm\ \ \ \color{blue}{subtract\ out}\ \sqrt{norm}\:,\ \ then\ \ \color{brown}{divide\ out}\ \sqrt{trace} $

Recuerdan $\rm\: w = a + b\sqrt{n}\: $ norma $\rm =\: w\:\cdot\: w' = (a + b\sqrt{n})\ \cdot\: (a - b\sqrt{n})\ =\: a^2 - n\: b^2 $

y, además, $\rm\:w\:$ seguimiento $\rm\: =\: w+w' = (a + b\sqrt{n}) + (a - b\sqrt{n})\: =\: 2\:a$

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Aquí $\:1+\sqrt{3}/2\:$ norma $= 1/4.\:$ $\rm\ \: \color{blue}{subtracting\ out}\ \sqrt{norm}\ = 1/2\ $ rendimientos $\ 1/2+\sqrt{3}/2\:$

y esto ha $\rm\ \sqrt{trace}\: =\: 1,\ \ thus,\ \ \ \color{brown}{dividing\ it\ out}\ $ de este rendimientos de la sqrt: $\:1/2+\sqrt{3}/2.$

A continuación se muestra otro ejemplo.

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Nota: $\:9-4\sqrt{2}\:$ norma $= 49.\:$ $\rm\ \: \color{blue}{subtracting\ out}\ \sqrt{norm}\ = 7\ $ rendimientos $\ 2-4\sqrt{2}\:$

y esto ha $\rm\ \sqrt{trace}\: =\: 2,\ \ so,\ \ \ \color{brown}{dividing\ it\ out}\ $ de este rendimientos de la sqrt: $\:1-2\sqrt{2}.$

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Ver aquí para más ejemplos, y ver esta respuesta general de los radicales almacenaje de los algoritmos.

Answer 3

El método es correcto. Por desgracia, la raíz cuadrada de $s+t\sqrt{k}$, donde $s$ $t$ y $k$ son racionales, son generalmente no de la forma $x+y\sqrt{k}$ con rational $x$$y$. Cuando usted utiliza su método, el problema se manifiesta cuando el sistema de ecuaciones de forma análoga a la que se ha producido ninguna solución racional.

El sistema de ecuaciones puede ser convertido en una de segundo grado en $x^2$. Si el discriminante no es el cuadrado de una manera racional, no hay racional $x$$y$. E incluso si el discriminante es el cuadrado de un racional, dando racional $x^2$, lo que no garantiza la racionalidad de la $x$.