Si $F(z)$ es analítico en un dominio $D$ es $\overline{F(\overline{z})}$ también analítica en $D$ ?

Question

Planteamiento del problema

Si $F(z)$ es analítico en un dominio $D$ es $\overline{F(\overline{z})}$ también analítica en $D$ ?

Mi intento

Supongamos que $F(z)$ es analítico en un dominio $D$ . De ello se desprende que $F$ es diferenciable en cada $z \in D$ .

Sé que la derivada parcial $$\frac{\partial F(z)}{\partial \overline{z}} = 0,$$ desde $F$ es diferenciable en cada punto $z \in D$ . Lo que me cuesta es cómo obtener una expresión para $F(\overline{z})$ .

Pregunta

Por supuesto, no puedo concluir de inmediato que $\overline{z} \in D$ también tiene. ¿O sí? ¿Es éste el enfoque correcto del problema? Si no es así, ¿cómo puedo resolver este enigma? Las sugerencias serán bienvenidas.

Answer 1

Lo que has escrito son sólo las ecuaciones de Cauchy-Riemann (utilizando la derivada de Wirtinger $\frac{\partial}{\partial \overline{z}}$ ). No estoy seguro de cómo se podría hacer el problema con este enfoque, pero creo que podría no ser "el correcto" ya que se puede probar fácilmente $\overline{f(\overline{z})}$ es analítica a partir de la definición de derivada compleja: Sea $z_0\in\mathbb{D}$ y que $g:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ sea la función definida por $g(z)=\overline{z}$ . Hay que comprobar que el límite $$ \lim_{z\to z_0}\frac{\overline{f(\overline{z})}-\overline{f(\overline{z_0})}}{z-z_0} $$ existe. Notando que la expresión dentro del límite es igual a $$ g\left(\frac{f(\overline{z})-f(\overline{z_0})}{\overline{z}-\overline{z_0}}\right) $$ y usando eso $g$ es una función continua deberías poder concluir que el límite anterior es $g(f'(\overline{z}))=\overline{f'(\overline{z_0})}$ . Como este límite existe para cada $z_0$ se puede concluir $\overline{f(\overline{z})}$ es holomorfo en $\mathbb{D}$ y, por tanto, analítica.