f(f(x))=exp(x)-1 y otras funciones "justo en el medio" entre la lineal y la exponencial

Question

La pregunta es sobre la función f(x) de modo que f(f(x))=exp (x)-1.

La pregunta es abierta y se debatió hace poco en el hilo de comentarios del blog de Aaronson aquí http://scottaaronson.com/blog/?p=263

La tasa de crecimiento de la función f (a medida que x va al infinito) es mayor que la lineal (lineal significa O(x)), polinómica (significa exp (O(log x))), cuasi-polinómica (significa exp(exp O(log x)) cuasi-polinómica, etc. Por otra parte, la función f es subexponencial (incluso en el sentido de CS f(x)=exp (o(x))), subsubexponencial (f(x)=exp (o(log x)) subsubexponencial y así sucesivamente.

¿Qué se puede decir de f(x) y de otras funciones con ese comportamiento de crecimiento intermedio? ¿Puede representarse este comportamiento de crecimiento intermedio mediante funciones analíticas? ¿Es esta función f(x) u otras funciones con tal crecimiento intermedio relevantes para alguna matemática interesante? (Parece que bastantes matemáticos y otros científicos interesantes han pensado en esta función/crecimiento intermedio).

Preguntas relacionadas con el MO:

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Answer 1

A ver si puedo resumir la conversación hasta ahora. Si queremos $f(f(z)) = e^z+z-1$ entonces habrá una solución, analítica en una vecindad del eje real. Véase también de fedja argumento del espacio de Banach, o mi Argumento de iteración más esquemático . El informe anterior sobre los contraejemplos numéricos era un error; procedían de la computación $(k! f_k)^{1/k}$ en lugar de $f_k^{1/k}$ . No sabemos si esta función es completa. Si lo es, entonces debe haber algún lugar en el círculo de radio $R$ donde es mayor que $e^R$ . (Ver Comentario de fedja aquí).

Si queremos $f(f(z)) = e^z-1$ no hay solución, ni siquiera en un $\epsilon$ -bola alrededor $0$ . Según mathscinet, esto se demuestra en un documento de Irvine Noel Baker , Composiciones de funciones enteras , Matemáticas. Z. 69 (1958), 121--163. Sin embargo, hay dos medias iteraciones (o coordenadas Fatou asociadas $\alpha(e^z - 1) = \alpha(z) + 1$ ) que son holomorfas con dominios muy grandes. Una es holomorfa en los números complejos sin el rayo $\left[ 0,\infty \right)$ a lo largo del eje real positivo, el otro es holomorfo en los números complejos sin el rayo $\left(- \infty,0\right]$ a lo largo del eje real negativo. Y ambos tienen la serie de potencia formal de la media iteración $f(z)$ como serie asintótica en 0.

Si queremos $f(f(z))=e^z$ Hay soluciones analíticas en una vecindad de la línea real, pero se sabe que no son enteras.

Haré de esta respuesta la wiki de la comunidad. ¿Qué más he dejado fuera de mi resumen?

Aquí está una pregunta de MO relacionada . Las respuestas a la nueva pregunta contienen más información interesante. Permítanme mencionar aquí un enlace con muchas referencias sobre "raíces iterativas e iteraciones fraccionarias" un enlace particular en la raíz cuadrada iterativa de exp (x) es aquí .

Los siguientes dos enlaces mencionados en la antigua discusión del blog pueden ser útiles

• http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/sqrt.exp (enlace obsoleto)

• http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/sqrt_exp (enlace obsoleto)

• http://web.archive.org/web/20140521065943/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/sqrt.exp

• http://web.archive.org/web/20140521065943/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/sqrt_exp

Answer 2

Permítame dejar de lado la ecuación particular que menciona y el tema de las series, y centrarme en cambio en la idea general de encontrar funciones "en el medio" entre dos familias de funciones. Hay algunas matemáticas extremadamente interesantes en esa idea.

La esencia de esta parte de tu pregunta es que tienes dos familias de funciones, en tu caso las funciones lineales y las funciones exponenciales, y la primera familia está por debajo de la segunda en el sentido de que cada función de la familia inferior está eventualmente dominada por cada función de la familia superior. Por ello, es muy natural querer entender las funciones que se encuentran entre las dos clases. En qué circunstancias y para qué tipos de familias $L$ y $U$ podemos encontrar siempre una función $f$ ¿llenar el vacío? Es decir, buscamos una función $f$ que finalmente domina las funciones de la familia inferior $L$ y finalmente está dominada por las funciones de la familia superior $U$ . Es natural considerar los casos en los que las familias son máximas en algún sentido, y como caso especial, se podría considerar lo que ocurre cuando se ordenan linealmente por dominación eventual.

Gran parte del contenido de esta pregunta ya está presente en el caso de las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ y, de hecho, resulta que gran parte del fenómeno fundamental se produce ya para las funciones $g:\mathbb{N}\to 2$ lo que equivale a considerar el cociente $P(\omega)/Fin$ como en esta respuesta de MO .

Esta forma de pensar está íntimamente relacionada con el fenómeno de Lagunas de Hausdorff .

• En primer lugar, si ambas familias son contables (o están determinadas por una subfamilia contable, lo que es cierto en su caso), entonces es un ejercicio agradable demostrar que siempre se puede llenar el vacío (demostrado por primera vez por Hausdorff). Es decir, dadas dos familias contables de funciones, los miembros de la primera siempre son eventualmente dominados por los miembros de la segunda, entonces hay una función que rellena el hueco.

• En segundo lugar, Hausdorff construyó ejemplos de familias de funciones que no admiten ninguna función en el medio; estos huecos no se pueden llenar. Es decir, produjo una familia inferior $L$ y y familia superior $U$ , de tal manera que cada función de la familia inferior fue eventualmente dominada por cada función de la familia superior, pero no hay ninguna función justo en el medio, llenando el vacío. Sus ejemplos eran vacíos no rellenados que tienen un tipo de orden incontable $(\omega_1,\omega_1)$ en el sentido de que tanto la familia inferior como la superior están determinadas por una $\omega_1$ -secuencia de funciones.

• Sin embargo, el carácter no rellenable de estas lagunas admite una amplia independencia set-teórica, en el sentido de que una laguna no rellenada puede a veces ser rellenada por una función que se añade por forzamiento, es decir, pasando a un universo set-teórico mayor. Al mismo tiempo, existen métodos para sellar un hueco, que impiden que se llene nunca en una extensión de forzamiento que preserve los cardinales.

• Kunen demostró que es consistente con el axioma de Martin más $\neg CH$ que hay huecos sin rellenar del tipo $(\omega_1,c)$ y $(c,c)$ , donde $c$ es el continuo, y también es coherente que todos esos huecos se rellenen.

Answer 3

Existe una única solución formal en serie de potencias con $f(0) = 0$ y $f'(0) = 1$ . Había supuesto que los coeficientes serían todos positivos, lo que implicaría que son menores que para $\exp(x)$ y, por lo tanto, que $f(x)$ está entero. No hubo suerte. Maple me da esto:

$$f(x) = x + \frac{x^2}4 + \frac{x^3}{48} + \frac{x^5}{3840} - \frac{7x^6}{92160} + \frac{x^7}{645120} + \frac{53x^8}{3440640} + \cdots.$$

Esto no dice mucho sobre el posible radio de convergencia de esta serie. Por otra parte, esperar que sea entera puede haber sido ingenuo desde el principio, porque parece poco probable que $f(f(x))$ sería periódica en la dirección imaginaria.

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Dado que Michael Lugo ha encontrado pruebas de que la serie de Taylor tiene un radio de convergencia nulo, no es una forma muy buena de describir o incluso definir $f(x)$ . ¿Está claro que hay un único $f(x)$ que es convexo (al menos para $x \ge 0$ ), y que ese $f$ es suave en 0 y analítica real lejos de $0$ ? Hay un libro sobre la iteración fraccionaria de funciones que presumiblemente aborda estas cuestiones.

Answer 4

Si todo lo que quieres es una raíz cuadrada compositiva de algo como $e^z-1$ analítica en algunos disco alrededor del origen, yo iría por $e^z-1-\frac 34 z=\frac z4+h(z)$ . Entonces, poniendo $f(z)=\frac z2+g(z)$ vemos que tenemos que resolver $$ g(z)=Tg(z)=-2g(\tfrac z2+g(z))+2h(z). $$ Consideremos ahora el espacio de Banach de todas las analíticas en el disco $D$ de radio $r>0$ funciones $g$ satisfaciendo $\|g\|= \sup_{D}|g(z)|\cdot|z|^{-3/2}<+\infty$ . Si $r$ es lo suficientemente pequeño, entonces $T$ mapea la bola unitaria en este espacio a sí misma y es una contracción allí.

Answer 5

Esto no parece ser inmediatamente relevante para la teoría de la complejidad, pero el caso específico de exp(x)-1 es algo interesante desde el punto de vista de los grupos formales. exp(x)-1 da un isomorfismo distinguido entre la ley formal de grupo aditivo y la ley formal de grupo multiplicativo (y tal isomorfismo sólo existe en la característica cero). Hay dos raíces cuadradas de este isomorfismo, dando lugar a leyes de grupo formales intermedias. Para cada primo p, ambos isomorfismos convergen en un disco p-ádico de radio positivo pequeño. Un comportamiento similar se da para las raíces n-ésimas.