Problema de sistema de ecuaciones y vectores

Question

Déjalo: $ b_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} b_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} b_3=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} b_4=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$

Demuestre que una matriz $ A \in \mathcal{M}_{4 \times 4} $ es invertible si sólo existe $x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb{R}^4$ tal que $Ax_i=bi $ para $i=1,2,3,4$

La primera implicación es trivial ya que se puede tomar $A^{-1}b_i$ como solución pero no puedo probar la segunda implicación. He intentado utilizar el hecho de que si A es no invertible. Entonces sus vectores columna son Linealmente dependientes ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea una matriz cuyas columnas son $x_i,i=1,2,3,4$ y que $B$ una matriz cuyas columnas son $b_i, i=1,2,3,4$ entonces se obtiene la ecuación $AX=B$ pero $B$ es invertible , y esto implica que $X$ también es invertible (¿por qué?), y cómo puede esto implicar que $A$ es invertible.