Método de la forma normal de Jordan

Question

Tengo la matriz $A=\begin{pmatrix}0& 0& 1\\1& 0& -3\\0& 1& 3\\\end{pmatrix}$ para ponerlo en la forma normal de Jordan. He buscado en varios sitios web, pero todos parecen utilizar métodos diferentes y me estoy confundiendo. Tengo que los valores propios son $1$ (multiplicidad $3$ ) y traté de remar para reducir $(A-I)$ para obtener los vectores propios, pero obtuve la matriz identidad, lo que implica que los vectores propios son $0$ . El libro de texto que tengo muestra un ejemplo que sugiere que debo calcular $(A-I)^2$ , entonces elige un vector $v$ (¿al azar?) para que $v$ no está en el espacio nulo de $(A-I)^2$ pero no sigo lo que pasa después.

Gracias.

Answer 1

El polinomio característico de la matriz es

$$\;\begin{vmatrix}t&0&\!\!-1\\\!\!-1&t&3\\0&\!\!-1&t-3\end{vmatrix}=(t-1)^3\;$$

Calcular el eigespacio del único valor propio $\;\lambda=1\;$ (por cierto, ya sabemos que la matriz no es diagonalizable, ¿por qué?), introduciendo $\;t=1\;$ y formando el sistema homogéneo asociado:

$$\begin{cases}&\;\;\;x&&-z=0\\&-x+&y+&\;3z=0\end{cases}\;\;\implies x=z\;,\;\;y=-2z$$

y por lo tanto el eigespacio es de dimensión uno, lo que da el JNF (¿por qué en lo anterior no necesitamos la tercera ecuación?)

$$\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$$