Supongamos que tengo $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ IID de una distribución continua $F$ con densidad $f$ . Tengo algunas ideas sobre cómo encontrar la distribución condicional de $(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ dado $\sum_{i=1}^{n}X_{i}=t$ . Pero estoy atascado en encontrar la distribución conjunta condicional cuando $\sum_{i=1}^{n}X_{i}\geq 0$ . Para simplificar, estaba tratando de hacer la prueba cuando $X_{i}\sim N(0,1)$ y puedo encontrar la distribución condicional cuando $\sum_{i=1}^{n}X_{i}=t$ pero no puedo avanzar más allá de eso. Se agradece cualquier ayuda.
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Dejemos que $\Phi(x)$ y $\phi(x)$ sean la CDF y la PDF de $N(0,1)$ respectivamente. Ahora tienes $$ W:=\sum_{i=1}^n X_i \sim N(0,n). $$ Ahora, $$ F(x):=\mathbb{P}(W \leq x|W\geq 0) = \frac{\mathbb{P}(W \leq x,W\geq 0)}{\mathbb{P}(W\geq 0)} = 2 \Phi(x) $$ para $x\geq 0$ y $F_W(x)=0$ para $x<0$ . Ahora diferenciar $F$ y se obtiene que la densidad de $W|W\geq 0$ es $$ f(x)= 2\phi(x)1(x\geq 0). $$ Dejemos que $(x_1,\ldots,x_n)$ sea tal que $\sum_{i=1}^nx_i>0$ , entonces para algunos $r_i>0$ , $i=1,2,\ldots,n$ , de tal manera que
$$ \mathbb{P}(X_1 \in (x_1-r_1, x_1+r_1),\ldots,X_n\in (x_n-r_n, x_n+r_n),W> 0) = \mathbb{P}(X_1 \in (x_1-r_1, x_1+r_1),\ldots,X_n\in (x_n-r_n, x_n+r_n). $$
La igualdad se mantiene ya que $\{X_1 \in (x_1-r_1, x_1+r_1),\ldots,X_n\in (x_n-r_n, x_n+r_n)\} \subseteq \{W>0\}$ , para que sea lo suficientemente pequeño $r_i$ 's. Ahora puedes usar la independencia y escribir
$$ \mathbb{P}(X_1 \in (x_1-r_1, x_1+r_1),\ldots,X_n\in (x_n-r_n, x_n+r_n)|W> 0) = \\2\times\prod_{i=1}^n\mathbb{P}(X_i \in (x_i-r_i, x_i+r_i)). $$ ¿Puede completarlo ahora desde aquí?
xwrs
Puntos
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Para simplificar, ponga $n=3$ , $X_1=X,X_2=Y,X_3=Z$ . Aviso $(X,Y,Z)\sim f_{XYZ}$ donde $$f_{XYZ}(x,y,z)=f(x)f(y)f(z)$$ La distribución conjunta de $(X,Y,Z)$ condicionado al evento $\{X+Y+Z>0\}$ se ve fácilmente que es igual a $$(x,y,z)\longrightarrow \frac{f_{XYZ}(x,y,z)\cdot 1_{\{x+y+z>0\}}}{\iiint_{\{x+y+z>0\}}f_{XYZ}\mathrm{d}V}$$ lo que equivale a $$(x,y,z)\longrightarrow \frac{f_{XYZ}(x,y,z)\cdot 1_{\{x+y+z>0\}}}{\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-x-y}^{\infty}f_{XYZ}(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x}$$ Por otro lado, obtenemos con la integración superficial que la densidad condicional de $(X,Y,Z)$ condicionado al hecho de que $X+Y+Z=t$ es $$(x,y,z) \longrightarrow \frac{f_{XYZ}(x,y,z) \cdot 1_{\{x+y+z=t\}}}{\iint_{\{x+y+z=t\}}f_{XYZ}\mathrm{d}S}$$ lo que equivale a $$(x,y,z) \longrightarrow \frac{f_{XYZ}(x,y,z) \cdot 1_{\{x+y+z=t\}}}{\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{3}f(x,y,t-x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$$ Si se quiere utilizar la mencionada densidad para evaluar una probabilidad como $$P\Big((X,Y,Z)\in E \big|X+Y+Z=t\Big)$$ dirías $$P\Big((X,Y,Z)\in E \big| X+Y+Z=t\Big)=\frac{\iint_{E \cap \{x+y+z=t\}}f_{XYZ}\mathrm{d}S}{\iint_{\{x+y+z=t\}}f_{XYZ}\mathrm{d}S}$$ ¿Se puede generalizar esto a la arbitrariedad $n$ ?
