¿Qué es una visión intuitiva de los colindantes? (versión 1: teoría de las categorías)

Question

Al tratar de pensar en una respuesta intuitiva a una pregunta sobre las colindancias Me di cuenta de que no tenía una buena comprensión conceptual de lo que es un par adjunto.

Conozco la definición (varias de ellas), he leído la Página de nlab (y cualquier buena respuesta se añadirá allí), he trabajó con ellos He encontrado ejemplos de funtores con y sin adjuntos, pero no podría explicar lo que es un adjunto a un niño de cinco años, al hombre del ómnibus de Clapham o incluso a un estudiante avanzado.

Entonces, ¿cómo debo pensar intuitivamente en las adjunciones?

Para más antecedentes: Soy un topólogo de profesión que ha estado aprendiendo la teoría de las categorías recientemente (y, en su mayor parte, disfrutando de ella), pero aún no la he interiorizado realmente. Estoy plenamente convencido de la valor de las adjunciones, pero no tengo la misma intuición sobre ellas que para, por ejemplo, la unicidad de la cohomología ordinaria.

Answer 1

El ejemplo que daría a un niño de cinco años es el siguiente.

Tome la categoría $\mathbb R$ cuyos objetos son los números reales (o quizás los números racionales para los de cinco años) y un único morfismo $x \to y$ siempre que $x \leq y$ . Sea $\mathbb Z$ sea la subcategoría completa formada por los enteros. La inclusión $i : \mathbb Z \to \mathbb R$ tiene un adjunto a la derecha y otro a la izquierda: el primero es la función suelo, el otro es la función techo.

Creo que el niño de cinco años estará de acuerdo en que se trata de aproximaciones, por lo que diría que los contiguos a la izquierda y a la derecha no son más que versiones mejoradas de las aproximaciones.

Answer 2

Me gusta la motivación de Wikipedia para un functor adjunto como solución formulista a un problema de optimización (aunque soy parcial, porque ayudé a escribirlo). En resumen, "adjunto" significa más eficiente y "functor" significa solución de fórmula .

Aquí hay una versión resumida de la discusión para hacerla más precisa:

Un functor adjunto es una forma de dar el solución más eficaz a algún problema de optimización a través de un método fórmula ... Por ejemplo, en la teoría de los anillos, el más eficiente manera de convertir un rng (como un anillo sin identidad) en un anillo es adjuntar un elemento '1' al rng, adjuntar ningún elemento extra innecesario (necesitaremos tener r +1 por cada r en el anillo, claramente), y no imponer ninguna relación en el nuevo anillo formado que no esté forzada por los axiomas. Además, esta construcción es fórmula en el sentido de que funciona esencialmente de la misma manera para cualquier rng.

La descripción intuitiva de esta construcción como "más eficiente" significa que "satisface una propiedad universal" (en este caso una propiedad inicial), y que sea intuitivamente "formulaica" corresponde a que es functorial, lo que la convierte en un "functor" adjunto.

En esta interpretación asimétrica, el teorema (si definen las uniones mediante morfismos universales ) que los funtores adyacentes ocurren en pares tiene el siguiente significado intuitivo:

"La noción de que F es el solución más eficaz al problema (de optimización) planteado por G es, en cierto sentido riguroso, equivalente a la noción de que G plantea la el problema más difícil que F resuelve".

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Editar: Me gusta el comentario de abajo que enfatiza que un functor adjunto es un definido globalmente solución. Si
$G:C\to D$ puede ser cierto que morfismos terminales existen para algunos $C$ pero no todas; cuando se siempre existe, esto garantiza que extienden para definir un functor único $F:D\to C$ tal que $F \dashv G$ . Este resultado podría tener la interpretación intuitiva de que "las soluciones definidas globalmente son siempre formulaicas".

Compárese esto, por ejemplo, con el teorema básico en geometría algebraica de que una sección global (de la gavilla de estructura) de $\mathrm{Spec} (A)$ se define siempre por un solo elemento de $A$ el functor de secciones globales es un functor adjunto representable por la fórmula $Hom(-,\mathrm{Spec}( \mathbb{Z}))$ Así que esto está directamente relacionado.

Answer 3

Supongamos que $F\colon C\to D$ es un functor. Entonces hay muchas situaciones en las que pensar en encontrar contiguos a la izquierda y a la derecha de $F$ como la resolución de problemas de aproximación es una muy buena intuición. Así que estas constituirían formas funcionales de aproximar objetos en $D$ en relación con la imagen de $F$ por objetos en $C$ ya sea a la derecha o a la izquierda. No estoy seguro de haber conseguido redactar esto de manera que transmita lo que tengo en la cabeza, pero aquí hay algunos ejemplos (que he elegido porque tienen un sabor particularmente "aproximado", pero creo que esto funciona razonablemente bien en general de todos modos, creo que mi sesgo de selección aquí está más sesgado hacia lo que pienso regularmente).

Las teorías de la torsión son muy buenos ejemplos de este principio. Por ejemplo, la noción de localización con respecto a una teoría de homología en la categoría de homotopía de los espectros o, más generalmente, los triángulos de aproximación procedentes de los funtores de acyclización y localización de una descomposición semiortogonal de una categoría triangulada. Otro buen ejemplo en esta línea es, por ejemplo, la estructura t estándar en la categoría derivada de módulos sobre algún anillo. Aquí tenemos de nuevo dos pares de adjuntos y podemos pensar en uno como una aproximación a la derecha por un complejo acotado por debajo que viene de la unidad y el otro como una aproximación a la izquierda por un complejo acotado por encima a través del conit.

También se pueden ver así las resoluciones de la categoría derivada. Por ejemplo, tenemos un adjunto derecho al mapa canónico de $K(Inj R) \to D(R)$ para un anillo $R$ donde la primera categoría es la categoría de homotopía de los complejos de inyectivos $R$ -que está tomando resoluciones K-inyectivas. Del mismo modo, otros tipos de resoluciones, envolturas y coberturas pueden realizarse mediante adjunciones.

Todos estos ejemplos son particularmente agradables en el sentido de que obtenemos triángulos o secuencias exactas cortas que describen el objeto del que partimos en términos de nuestras aproximaciones complementarias (por complementarias quiero decir que hay ortogonalidad flotando en todos estos ejemplos, así que en cierto sentido hemos descompuesto nuestra categoría).

Creo que cosas como el teorema del funtor adjunto y la reprensentabilidad de Brown se vuelven muy razonables desde este punto de vista. Uno puede interpretarlos vagamente como que siempre que las cosas sean lo suficientemente "pequeñas" como para ser manejables y uno tenga suficientes límites/colímites, entonces uno puede construir aproximaciones universales (es decir, adjuntos) tomando aproximaciones gruesas y refinándolas.

Creo que esta filosofía funciona bien con la que se da en la página de la wiki que Andrew Critch enlazó.

Answer 4

Para una glosa de "hombre en el ómnibus de Clapham", creo que podrías hacer algo peor que la entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford sobre la teoría de las categorías . Describe los adjuntos como "inversos conceptuales" y explica cómo verlos así en algunos de los ejemplos estándar.

Supongo que esto es probablemente un nivel más bajo de lo que realmente estabas pidiendo. Pero creo que articula bastante bien uno de los puntos centrales menos obvios de la intuición (al menos, mi intuición) de lo que es una adjunción.

Dicho de forma más precisa/abstracta: cuando pensamos en generalizar el isomorfismo entre objetos de una categoría 1 a algo entre objetos de una categoría 2, normalmente pensamos primero en el isomorfismo y la equivalencia, pero la adjunción también es una generalización de este tipo.

Answer 5

Los adjuntos pueden considerarse intuitivamente como la expresión de una dualidad conceptual entre nociones matemáticas.

Algunos ejemplos de este tipo son $${\sf Free}\dashv {\sf Forgetful},$$ $$\varinjlim\dashv\Delta\dashv\varprojlim,$$ donde $\Delta:\mathcal{C}\to\mathcal{C}^\mathcal{D}$ es el functor diagonal sobre una categoría (co)completa $\mathcal{C}$ , $$\exists\dashv*\dashv\forall,$$ donde $*:{\sf Form}(\overline x)\to{\sf Form}(\overline x,y)$ es el functor que adjunta una variable $y$ que no aparece en $\overline x=(x_0\dots,x_n)$ que cuantificamos existencialmente o universalmente sobre, $$\lceil x\rceil\dashv i\dashv\lfloor{x}\rfloor$$ como señala el usuario1421 en su respuesta, donde $i:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ es la inclusión estándar - hay muchos más que pertenecen a esta lista.

En esencia, si dos nociones están relacionadas entre sí lo suficientemente cerca como para que dar una definición de una noción (en presencia de una estructura ambiental suficiente) defina la otra noción completamente, pueden expresarse como una (posiblemente $\infty$ -) par adjunto de funtores. A la inversa, cuando vemos que dos nociones pueden expresarse como un par adjunto de funtores significa que podemos pensar en una pensando en la otra más alguna estructura canónica adicional.

En los casos anteriores, una de las dos nociones es significativamente más simple que la otra -- los funtores olvidadizos son más simples que los funtores de objeto libre, los funtores diagonales son más simples que los funtores límite y colímite, la adyacencia de una variable es más simple que la cuantificación existencial o universal, etc. Esto significa que podemos entender nociones complejas entendiendo las simples y haciéndolas functoriales, y luego considerando su adjunto izquierdo o derecho. Aunque puede haber otra forma de construir cualquier noción con la que acabemos, dos adjuntos a la derecha (o a la izquierda) del mismo functor serán naturalmente isomorfos, así que hemos llegado a la definición de forma segura y utilizando herramientas que se entienden muy bien y son fáciles de manipular.