¿Podría un conjunto de $3$ vectores en $\mathbb{R}^4$ abarcan todo $\mathbb{R}^4$ ?

Question

¿Podría un conjunto de $3$ vectores en $\mathbb{R}^4$ abarcan todo $\mathbb{R}^4$ es lo mismo que preguntar si un 4 x 3 matriz podría abarcar $\mathbb{R}^4$ o si un 3 x 4 matriz podría abarcar $\mathbb{R}^4$ ?

Answer 1

Para $m \lt n$ , no conjunto de $m$ Los vectores abarcarán todo el $\mathbb R^n$

En su caso, no es posible que $3$ vectores linealmente independientes para abarcar todo el $\mathbb R^4$ Véase la entrada de la Wikipedia sobre el dimensión de un espacio vectorial .

Answer 2

Supongamos que los tres vectores $\vec{v}_1,\vec{v}_2, \vec{v}_3 \in \mathbb{R}^4$ forman un conjunto linealmente independiente $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ , entonces este conjunto puede ser una base para algún espacio vectorial. Como $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2, \vec{v}_3\} \subset \mathbb{R}^4$ su extensión es un subespacio de $\mathbb{R}^4$ . Ahora la dimensión de un subespacio es el número de elementos de cualquiera de sus bases, por lo que la dimensión del subespacio que abarca el conjunto $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ tiene dimensión $3$ . Por lo tanto, porque $\mathbb{R}^4$ tiene dimensión $4$ este conjunto no puede abarcarlo. Nótese que, efectivamente, este conjunto puede abarcar subespacios de dimensión menor o igual a $3$ , menos de $3$ cuando existe alguna relación lineal entre ellos.

Answer 3

Si $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 \in \mathbb{R}^4$ podemos encontrar un vector en $\mathbb{R}^4$ fuera del ámbito de los tres vectores.

Dejemos que $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^4$ sea tal que $\vec{v}_1 \cdot \mathbf{u}=0$ , $\vec{v}_2 \cdot \mathbf{u}=0$ y $\vec{v}_3 \cdot \mathbf{u}=0$ . El Teorema de Rango-Nulidad implica un valor no nulo $\mathbf{u}$ existe, ya que el $3 \times 4$ matriz $$ \left(\begin{matrix} v_1[1] & v_1[2] & v_1[3] & v_1[4] \\ v_2[1] & v_2[2] & v_2[3] & v_2[4] \\ v_3[1] & v_3[2] & v_3[3] & v_3[4] \\ \end{matrix}\right) $$ donde $v_i[j]$ es el $j$ -ésima componente del vector $\vec{v}_i$ , tiene nulidad $\geq 1$ . Es decir, la matriz anterior tiene un espacio nulo .

Geométricamente, $\mathbf{u}$ es ortogonal a $\vec{v}_1$ , $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ .

Answer 4

Compare esta pregunta con " n+1 vectores en $\mathbb{R}^n$ no pueden ser linealmente independientes ", que plantea una pregunta más o menos doble. Una vez que se sabe que la dimensión está bien definida, es decir, que todas las bases posibles de un espacio vectorial dado tienen el mismo número de elementos, es bastante fácil ver que esto es así, y que lo que se pregunta (tener un conjunto de extensión de $~\Bbb R^n$ consistente en estrictamente menos de $n$ vectores) tampoco es posible. En concreto, para su pregunta, si algún número $m<n$ de vectores abarcaría $\Bbb R^n$ , cuyo espacio también tiene su base estándar de $n~$ vectores, entonces después de posiblemente tirar algunos de estos $~m$ vectores (en caso de que sean linealmente dependientes), se tendría una base de $\Bbb R^n$ con estrictamente menos que $n$ vectores, contradiciendo el hecho citado.

Sin embargo, al demostrar que la dimensión está bien definida (todas las bases tienen el mismo número de elementos), el hecho infravalorado se reduce a responder tanto a su pregunta (generalizada a la arbitrariedad $~n$ ) y la pregunta citada sobre la dependencia lineal, por lo que demostrar esos hechos utilizando un argumento de dimensión es algo circular y oculta la necesidad de demostrar realmente algo directamente de las definiciones. Una forma de hacerlo es demostrar que , dado cualquier base finita $~B$ de un espacio vectorial $~V$ y también un conjunto separado linealmente independiente $S$ de $k$ vectores, se puede construir una base de $~V$ que consiste en $S$ junto con un subconjunto de $~B$ que se obtiene tirando exactamente $~k$ vectores (esto es esencialmente el Lema de intercambio de Steinitz ). Para la respuesta negativa a su pregunta se aplicaría esto con para $B$ una base estrictamente inferior a $n$ vectores extraídos de su hipotético conjunto de spanning, y para $S$ la base estándar de $~\Bbb R^n$ que contiene $k=n$ vectores; el resultado del estado dice entonces que $n$ Los vectores pueden ser lanzados desde $S$ pero no hay suficientes vectores en $~S$ para hacer eso, por lo que esto da una contradicción.