Modelo de ecuaciones diferenciales

Question

Digamos que tenemos una pregunta como

Como la sal KNO3 se disuelve en metanol, el número x(t) de gramos de la sal en una solución después de t segundos satisface la ecuación diferencial $ x'=0.8x-0.004x^2 $ .

¿Cómo se encuentra la cantidad máxima M de la sal que se disolverá en el metanol?

Answer 1

Observe que $x' = 0.8x−0.004x^2 = x(0.8 - 0.004x)$ tiene dos raíces en $x=0,200$ . Por lo tanto, sabemos que $x'>0$ si $0<x<200$ y $x'<0$ si $x<0$ o $x>200$ .

Supongamos ahora que empezamos con una cantidad inicial de $x(0)=x_0 \geq 0$ . Entonces hay tres casos a considerar.

Caso 1: Si $x_0 = 0$ o $x_0 = 200$ entonces la cantidad se mantendrá constante, por lo que $M=x_0$ .

Caso 2: Si $0<x_0<200$ entonces la cantidad aumentará constantemente hacia la solución estable de $x=200$ Así que $x$ se acerca arbitrariamente a $200$ .

Caso 3: Si $x_0 > 200$ entonces la cantidad disminuirá constantemente hacia la solución estable de $x=200$ Así que $M = x_0$ .

Answer 2

Si uno mira $x'(t)$ se observan los siguientes hechos:

1.) $x'(0 \, \text{grams}) = 0$ ;

2.) $x'(200 \, \text{grams}) = 0$ ;

3.) para $0 < x < 200 \, \text{grams}$ , $x'(t) > 0$ la sal se va en el alcohol;

4.) para $x > 200 \, \text{grams}$ , $x'(t) < 0$ la sal está llegando fuera de la solución.

Obsérvese que, por (2), si $0 \, \text { grams} < x < 200 \, \text {grams}$ inicialmente, $x$ nunca puede aumentar más allá de $200 \, \text{grams}$ desde $x'(t) = 0$ allí. Así que asumiendo que empezamos con $x$ como en (3), la sal seguirá, en la red, para entrar en la solución, a un ritmo cada vez menor tasa como $x$ se acerca a $200 \, \text{grams}$ para que $x(t) \to 200 \, \text{grams}$ como $t \to \infty$ . Eventualmente, la cantidad de sal en la solución será indistinguible de $200 \, \text{grams}$ pero nunca más. El modelo predice una cantidad máxima observable $x = 200 \, \text{grams}$ , siempre y cuando $x$ comienza como en (3).

Espero que esto ayude. Saludos, y

¡¡Fiat Lux!!