Convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n3^n}{2n+1}z^{2n+1}$ para $|z|= \frac{\sqrt{3}}{3}$

Question

He demostrado que la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n3^n}{2n+1}z^{2n+1}$$ converge para $|z|<\frac{\sqrt{3}}{3}$ . ¿Puede alguien ayudarme a estudiar la convergencia para $|z|= \frac{\sqrt{3}}{3}$ ?

Answer 1

Utilizaremos la serie $$ \arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} $$ Utilizando Prueba de Dirichlet , conseguimos que, salvo en el caso de $z=\pm i\frac{\sqrt3}3$ la serie converge. Utilizando Teorema de Abel obtenemos que para $z=\frac{\sqrt3}3e^{i\theta}$ , $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n3^n}{2n+1}\left(\frac{\sqrt3}3e^{i\theta}\right)^{2n+1} &=\frac{\sqrt3}3\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{e^{i\theta(2n+1)}}{2n+1}\\ &=\frac{\sqrt3}3\left(\arctan\left(e^{i\theta}\right)-1\right)\\ &=\frac{\sqrt3}3\left(\frac i2\log\left(\frac{i+e^{i\theta}}{i-e^{i\theta}}\right)-1\right) \end{align} $$ que sólo explota cuando $e^{i\theta}=\pm i$ .

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Para $z=\pm i\frac{\sqrt3}3$ obtenemos $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n3^n}{2n+1}\left(\pm i\frac{\sqrt3}3\right)^{2n+1} &=\pm i\frac{\sqrt3}3\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n+1} \end{align} $$ que diverge en comparación con la serie armónica.

Answer 2

SUGERENCIA:

Aviso:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n3^n}{2n+1}z^{2n+1}=\frac{\sqrt{3}\arctan(z\sqrt{3})-3z}{3}\space\space,\text{when}\space\left|z\right|<\frac{1}{\sqrt{3}}$$

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Así que si $z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ :

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n3^n}{2n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{3}(1+2n)}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\frac{(-1)^n}{\sqrt{3}(1+2n)}=$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{2(-1)^m\Phi\left(-1,1,m+\frac{3}{2}\right)+\pi-4}{4\sqrt{3}}=$$ $$\lim_{m\to\infty}\left(\frac{(-1)^m\Phi\left(-1,1,m+\frac{3}{2}\right)}{2\sqrt{3}}+\frac{\pi}{4\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=$$ $$\frac{\pi}{4\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\lim_{m\to\infty}\frac{(-1)^m\Phi\left(-1,1,m+\frac{3}{2}\right)}{2\sqrt{3}}=$$ $$\frac{\pi}{4\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\lim_{m\to\infty}(-1)^m\Phi\left(-1,1,m+\frac{3}{2}\right)=$$ $$\frac{\pi}{4\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot0=$$ $$\frac{\pi}{4\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+0=$$ $$\frac{\pi}{4\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=$$ $$\frac{\pi-4}{4\sqrt{3}}$$