Prueba $\lim_{n\to\infty}\bigg({n^2\int_n^{n+1}{f(x)dx}\bigg)=1}$ . $f:(4,\infty)\to \mathbb R, f(x) = \frac{1}{x(x-4)}$

Question

$$f:(4,\infty)\to \mathbb R, f(x) = \frac{1}{x(x-4)}$$ Necesito probar el siguiente límite. $$\lim_{n\to\infty}\bigg({n^2\int_n^{n+1}{f(x)dx}\bigg)=1}$$
Esto es lo que he probado. Como no tenía otra idea de cómo hacerlo, intenté resolver la integral bajo el límite y se evalúa a $\frac{1}{4}\bigg(\ln{\frac{(n+1)(n+4)}{n(n+5)}}\bigg)$ .
Ahora, el límite se convierte en:
$$\frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\bigg({n^2\ln{\frac{(n+1)(n+4)}{n(n+5)}}\bigg)}$$ $$\frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\bigg({n^2\ln{\frac{n^2+5n+4}{n^2+5n}}\bigg)}$$ Y ahora el límite parece ser $0\cdot\infty$ . Sé que generalmente podemos resolver este caso de límites escribiendo un término de manera que el límite se convierta en $\infty \cdot \infty$ o $\frac{\infty}{\infty}$ así que entonces podemos aplicar L'hopital, pero no sé cómo escribir el límite en este caso, sobre todo por la $\ln$ término y estoy muy confundido. Ayúdenme, por favor.

Answer 1

No es necesario calcular la integral. Dado que $f(x)$ está acotado entre $\frac{1}{n^2}$ y $\frac{1}{(n-4)^2}$ para cualquier $x\in[n,n+1]$ el límite es trivialmente uno al apretar.

Answer 2

MVT para integrales:

$\displaystyle{\int_{n}^{n+1}}f(x)dx=f(s)\int_{n}^{n+1}1dx=$

$\dfrac{1}{s(s-4)}\cdot 1,$ donde $s \in [n,n+1]$ .

$n^2(\dfrac{1}{(n+1)(n-3)}\cdot 1) \le$

$n^2\displaystyle{\int_{n}^{n+1}}f(x)dx\le $

$n^2(\dfrac{1}{n(n-4)}\cdot 1).$

Toma el límite.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem

Answer 3

$ln(\frac {n^{2}+5n+4} {n^{2}+5n})=\ln (1+\frac 4 {n^{2}+5n})=\frac 4 {n^{2}+5n}+o(\frac 1 {n^{4}})$ . Desde $\frac 1 4 n^{2}(\frac 4 {n^{2}+5n}) \to 1$ hemos terminado.

He utilizado el hecho de que $\ln (1+x) =x+o(x^{2})$ como $x \to 0$ .