La extensión del caos

Question

En los sistemas caóticos la situación típica es que a bajo nivel las trayectorias de los puntos son salvajes, pero en general hay una buena descripción estadística del sistema.

Por ejemplo, consideremos las trayectorias de un sistema de ecuaciones diferenciales. Supongamos que hay algún tipo de caos como en el sistema de ecuaciones diferenciales de Lorenz. Cada trayectoria es muy salvaje y sensible a la condición inicial. Sin embargo, a escala global existe un atractor extraño que atrae todas las condiciones iniciales.

Parece que esta es la situación típica, que hay finitamente muchos atractores que atraen todas las condiciones iniciales, y en cada uno de ellos hay una medida que describe la frecuencia de visitas de cada trayectoria a alguna región del atractor. Es decir, se puede decir en promedio cuántas veces visita un punto una determinada región cercana al atractor. Además, esta estructura es estable.

Me gustaría entender por qué el comportamiento caótico e irregular de las trayectorias conduce a una especie de comportamiento regular cuando se consideran todas las trayectorias juntas y se adopta un punto de vista global.

Para entender un poco mejor la situación, me gusta entender lo que hay en el complemento. Es decir, ¿hay sistemas caóticos en los que no hay una imagen global agradable como la descrita anteriormente? ¿Cómo de salvajes deben ser las trayectorias de un sistema (digamos en $\mathbb{R}^3$ ) para que el panorama global sea también ``caótico''? ¿Es esto posible?

¿Qué significa que el panorama global sea caótico? ¿Infinitos atractores extraños? O el otro extremo: ¿la ausencia de un atractor extraño y de cualquier patrón específico?

¿Cuál es el sistema más caótico que se puede tener?

Answer 1

Hay mucho aquí, así que intentaré abordar "por qué el comportamiento caótico e irregular de las trayectorias lleva a una especie de comportamiento regular".

La versión más clásica de esta teoría es la de $C^2$ difeomorfismos $f$ con atractores hiperbólicos compactos ( $C^2$ es necesario para que la derivada $df$ está acotado en la norma del operador). En esta situación, el difeomorfismo puede comportarse de la manera más "ordenada" o "caótica" que se pueda imaginar lejos del atractor, pero en una vecindad del atractor, se puede aplicar una teoría muy agradable (la de Medidas de la JSR ) que indica que la estadística de las órbitas (de un conjunto completo de condiciones iniciales de Lebesgue) en esa vecindad está gobernada por una medida agradable, que se apoya en el propio atractor. Precisamente, existe una medida de probabilidad $\mu$ tal que, dado un observable continuo $f$ y un punto genérico $x \in U$ donde $U \supset \Lambda$ es atraído por el atractor $\Lambda$ tenemos $$ \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n-1} f^k x \rightarrow \int_{\Lambda} f d\mu $$ Además, la medida $\mu$ es en el mejor sentido posible "compatible" con la medida de Lebesgue.

El "por qué" también es interesante: resulta que en la situación anterior, hay una forma de codificar simbólicamente la dinámica en $\Lambda$ como un subdesplazamiento de tipo finito (también conocido como desplazamiento topológico de Markov). Esta codificación da lugar a una medida especial $\mu$ en $\Lambda$ con todas las buenas propiedades que he mencionado.

Debo mencionar que la hiperbolicidad es importante: significa más o menos que la dinámica asintótica está gobernada por el término de la derivada en un punto (técnicamente, significa que los valores propios de $df$ están acotados fuera del círculo unitario).

Estas cosas son competencia de la teoría ergódica diferenciable. Como referencia, deberías buscar en Google a los autores Ruelle, Bowen y Lanford.

Answer 2

Cada trayectoria es muy salvaje y sensible a la condición inicial. Sin embargo, a escala global existe un extraño atractor que atrae todas las condiciones iniciales.

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Me gustaría entender por qué el comportamiento caótico e irregular de las trayectorias conduce a una especie de comportamiento regular cuando se consideran todas las trayectorias juntas y se adopta un punto de vista global.

No comparto del todo esta impresión: Las trayectorias son tan salvajes o tan regulares como el atractor. Si se ignoran los transitorios, las trayectorias son incluso sólo una parte del atractor. Además, cualquier trayectoria se convierte en el atractor si su longitud va hacia el infinito, si así lo deseas (de nuevo, ignorando los transitorios).

Desde otro punto de vista, la sensibilidad a las condiciones iniciales tampoco es totalmente salvaje, sino que presenta una gran regularidad:

• Si dos condiciones iniciales están muy próximas, las trayectorias respectivas no empezarán a correr instantáneamente en direcciones diferentes, sino que es muy probable que permanezcan juntas durante un tiempo y sólo después se separen. Además, cuanto más cerca estén las condiciones iniciales, más tiempo tardarán por término medio en separarse.

• En el caso de un atractor, el comportamiento dinámico cualitativo de todas las trayectorias es el mismo. Además, todas se convierten en el mismo atractor si dejamos que la longitud de la trayectoria vaya hacia el infinito. En el caso de los atractores múltiples, se aplican afirmaciones comparables.