¿Cuáles son las 2125922464947725402112000 simetrías de un cubo de Rubik?

Question

En una charla reciente Marcus du Sautoy dice que hay 2125922464947725402112000 (2,1*10^24) simetrías de un cubo de Rubik, pero no identifica explícitamente qué es una simetría.

¿Qué cuenta como simetría del cubo de Rubik? ¿Es algo así como "girar la cara superior una vez en el sentido de las agujas del reloj y otra en sentido contrario"?

¿Cómo se cuentan estas simetrías?

Answer 1

Normalmente, algo se llama "simetría" si deja algo invariable. Por ejemplo, la letra T tiene una simetría en el sentido de que se puede tomar la imagen especular con respecto a su eje vertical y la forma sigue siendo la misma.

En el caso del cubo de Rubik, si se tienen en cuenta las caras de colores, no hay ninguna simetría, ya que cada movimiento cambiará alguna de las caras. Lo que se entiende por "simetrías" en este caso son las operaciones que dejan invariable la "estructura" del cubo, es decir, que dejan el cubo con la misma forma que antes si se prescinde de los colores de las caras. Pueden ser operaciones elementales, como girar una cara en el sentido de las agujas del reloj, u operaciones compuestas, como la que has puesto como ejemplo, o más complejas. Lo importante es que cualquier secuencia de operaciones que conduzca al mismo resultado final se considera igual; por ejemplo, si giras una cara en el sentido de las agujas del reloj tres veces, se considera lo mismo que girarla una vez en sentido contrario.

Como ninguna de estas operaciones deja los colores de las caras sin cambiar, y como se consideran diferentes si y sólo si el resultado final es diferente, se pueden contar contando el número de configuraciones diferentes en las que pueden llevar los colores de las caras. Así que no es necesario pensar en todos esos billones de secuencias de movimientos diferentes; todo lo que hay que hacer es razonar sobre qué configuraciones de las caras son alcanzables mediante secuencias de operaciones, y luego contarlas.

Edición en respuesta al comentario: Pido disculpas por haber dado una respuesta en el "registro" equivocado; por el enunciado de la pregunta no parecía que supieras lo que era un grupo :-) También pido disculpas por no haber comprobado los números.

El número que citas es en realidad el número total de posiciones diferentes de las piezas del cubo. Además del número de configuraciones de color alcanzables mediante el giro de las caras, que se suele citar, se incluyen factores de $12$ por el número de maneras diferentes en que las piezas se pueden desmontar y volver a montar, y $4^6$ para el número de orientaciones diferentes de los cuadrados centrales, que no se pueden distinguir de las marcas de color. De estos $4^6=2^{12}$ diferentes orientaciones de las plazas centrales, $2^{11}$ se puede alcanzar sin desmontar el cubo. Así que denotando el número de configuraciones que se suele citar por $n$ , se obtiene

• $n$ configuraciones sin desmontar el cubo y sin marcar los cuadrados centrales
• $2^{11}n$ configuraciones sin desmontar pero con marcado
• $12n$ con desmontaje pero sin marcar y
• $2^{12}\cdot12n$ con el desmontaje y el marcado,

y el número que has citado es ese último número.