Para cuál de las siguientes condiciones $ \ x ^ y \ge y^x \ $ siempre es cierto

Question

Dejemos que $x$ y $y$ sean números positivos, ¿cuál de los siguientes implica siempre $x^y \ge y^x$ ,

1. $x \le e \le y$
2. $y \le e \le x$
3. $x \le y \le e \ $ o $ \ e \le y \le x$
4. $y \le x \le e \ $ o $ \ e \le x \le y$

Sólo quiero una pista para empezar. He intentado muchas cosas pero no se me ocurre por dónde empezar. Aunque tengo la suposición de que la opción a es correcta porque he tratado un problema en el que necesitaba determinar si $e^ \ge ^e$ es cierto y seguí así :

Para $ x \gt 0$ , $\ e^x \gt 1+x $ .

Entonces, poniendo $x= \frac{}{e} - 1$ en la desigualdad anterior obtenemos,

$ \quad e^ {(\frac{}{e} - 1)} \gt 1+ (\frac{}{e} - 1) = \frac{}{e} $

Esto implica, $ \quad e ^ \frac{}{e} \gt ( \frac{}{e} ) \cdot e$

$ \quad \therefore \ e^ \gt ^e$

Answer 1

Una pista: $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ tiene un máximo global, véase aquí .

Answer 2

Aquí tienes una pista para empezar: Mira la función $\frac{x}{\log x}$ ¿dónde aumenta? ¿dónde disminuye? Expresa la desigualdad $x^y\geq y^x$ en términos de esta función.