Errata a "Principles of Algebraic Geometry" por Griffiths y Harris

Question

El libro de Griffiths y Harris Principles of Algebraic Geometry es un gran libro con, en mi humilde opinión, muchos errores y equivocaciones. ¿Por qué no colaboramos para hacer una lista completa de todos sus errores, equivocaciones, etc? Mis sugerencias:

• Página 10 en la parte superior, la definición de $\mathcal{O}_{n,z}$ está equivocada (o al menos escrita de manera confusa).

• Página 15, el cambio de coordenadas dado para los espacios proyectivos solo funciona cuando $i < j$. Afirma que las transiciones dadas también funcionan en el caso en que $j< i$.

• Página 27, hace falta una barra en la segunda entrada del operador $h_ij(z)$ definido. Además, ¿no debería ser el título de esta sección geometría de variedades complejas, en lugar de cálculo en variedades complejas?

• Página 35, la definición de haz está equivocada. ¡La condición de pegado debería ser para cualquier familia de conjuntos abiertos, no solo para pares de conjuntos abiertos! He visto a estudiantes de doctorado presentando esta definición de haz en seminarios de geometría proyectiva.

• Página 74, escribe $D(\psi \wedge e)$, pero $\psi$ y $e$ están en dos espacios vectoriales diferentes, y no se pueden hacer productos exteriores de vectores en diferentes espacios vectoriales... Supongo que quieren decir producto tensorial.

• Página 130, la definición de divisor dice que es una combinación lineal de subvariedades irreducibles de codimensión 1. Al decir lineal, se refiere a sobre $\mathbb{Z}$ y no sobre los números complejos (mejor debería decir, como Hartshorne, que $\operatorname{Div}$ es el grupo abeliano libre generado por las subvariedades irreducibles).

• Página 180, la ecuación $(\ast)$ tiene como objetivo una suma directa de fibrados de líneas, no tensorial.

• Página 366, cuando dice "funciones suaves soportadas sobre $\mathbb{R}^n$", ¿se refiere a funciones con valores complejos o reales?

• Equación superior de la página 440, ¿es realmente correcta?

• Página 445, en la segunda frase de la sección de hipercohomología, dice haces de haces abelianos. Probablemente quiso decir conjunto de haces abelianos.

Answer 1

Creo que este es un buen proyecto, pero hasta ahora las sugerencias no han rascado la superficie, mayormente son solo los errores tipográficos, no los errores matemáticos. Sugeriría que el libro es un poco como las obras legendarias de Lefschetz, es decir, los resultados son perspicaces y casi todos correctos, incluso si algunas demostraciones son lacunares. Por lo tanto, leer el libro tal como está, puede ser más valioso que leer el resultado de llenar los huecos en los argumentos. Sin embargo, intentar llenar esos huecos puede ser muy útil para el estudiante.

Algunos argumentos que se dice que necesitan elaboración o corrección: dualidad de Poincaré, desaparición de Kodaira, existencia de curvas racionales en superficies, teorema de singularidades de Riemann, teorema de Clifford, teorema de Torelli...

No obstante, la demostración de Riemann - Roch es muy clara, y sigue exactamente el relato histórico de Riemann y Roch, es decir, asumiendo la existencia de formas diferenciales de tipos 1 y 2. Además, la discusión de las variedades Jacobianas es extremadamente valiosa y útil, incluso si faltan algunos detalles. Este es un libro muy útil en general, especialmente si se combina con la lectura del libro sobre curvas de Arbarello, Cornalba, Griffiths y Harris.

Answer 2

En la página 38 en la parte inferior, la fórmula explícita para el operador de coborde está equivocada. Debería ser:

\begin{equation*} (\delta\sigma)_{i_0, \dotsc, i_{p+1}} = \sum_{j=0}^{p+1} \left.(-1)^j \sigma_{i_0, \dotsc, \color{red}{\widehat{\imath_j}}, \dotsc, i_{p+1}} \right|_{_{U_{i_0} \cap \,\dotsb \,\cap\, U_{i_{p\color{red}{+1}}}}} \end{equation*}

Answer 3

Esto es relativamente pequeño, pero la prueba de la 'fórmula de homotopía' en las páginas 384-385 tiene un error en la página 385. El teorema/lema es correcto, pero las líneas ofensivas son:

$ (\rho \phi)(z) = \overline{\partial}(K\rho\phi)(z) + K(\overline{\partial}(\rho\phi)(z)) $

Restringiendo a $V$,

$\phi(z) = \overline{\partial}(K\rho \phi)(z)$

El problema es que el homomorfismo $K$ inducido por el núcleo de Bochner-Martinelli es solo un homomorfismo 'por secciones', y no se extiende a un mapa de (pre-)haces. Debes hacer algo más para obtener la fórmula de homotopía.

Answer 4

Página 3, fórmula para $d\eta$: cambiar el signo menos por un signo más

... y así

$$ d\eta = \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}} \frac{\partial f(w)}{\partial\overline{w}}\frac{dw\wedge d\overline{w}}{w-z}.$$

Página 144, el grado para T'(M) debería tener un $2\pi$ en el denominador y no $4\pi$:

... el teorema clásico de Gauss-Bonnet da

$$ \deg T'(M) = \frac{1}{2\pi} \int_M K_M \cdot \Phi = \chi(M). $$

Answer 5

http://www.math.stonybrook.edu/~azinger/mat545-fall19/GHnotes.pdf Encontré un documento en línea de Aleksey Zinger sobre las erratas de Griffith y Harris, que es, con mucho, el más completo que he visto.