Digamos que tengo una bolsa de monedas injustas. Cada moneda $\mathit{i=1...N}$ tiene una probabilidad $\mathit{p_i}$ de dar cabezas al ser arrojadas. Si lanzo cada una de mis monedas una vez y cuento el número de caras, ¿qué distribución (y parámetros) describirán el número de caras que obtengo? Sé que si utilizo la misma moneda $\mathit{i}=I$ la función de masa de probabilidad sería una distribución binomial $Pr(k;n,p_I) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p_I^k(1-p)^{n-k}$ donde $\mathit{n}$ describe el número de veces que lancé la moneda. Sin embargo, en este caso tengo $\mathit{n}$ diferentes monedas con $\mathit{p_1, p_2, ..., p_n}$ probabilidad de que las cabezas se lancen una vez cada una.
Respuesta
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Puntos
1
No se puede hacer nada significativo en esta configuración sin más relaciones entre el $p_i$ . Por supuesto, la independencia garantiza que uno pueda, al menos, escribir una expresión sin demasiados sudores.
Por ejemplo, la probabilidad de $i$ las cabezas deben calcularse tomando cada subconjunto de monedas de tamaño $i$ y la evaluación de su probabilidad de ocurrencia.
La probabilidad de que un subconjunto concreto de monedas sea exactamente el que salga cara, es por independencia el producto de las probabilidades de que cada moneda de este subconjunto salga cara, por el producto de las probabilidades de que cada moneda que no esté en este subconjunto salga cruz.
Eso es, $$ P(i \textrm{ heads}) = \sum_{I \subset [1,...,N] \\ \ \ \ \ \ |I| = i} \left[\prod_{j \in I} p_j \prod_{k \notin I} (1-p_k)\right] \quad 0 \leq i \leq N $$
Tenga en cuenta que si todos los $p_i$ son iguales, entonces el número de subconjuntos de tamaño $i$ en $N$ es $\binom Ni$ y para cada $i$ el término interno es el mismo, es decir $p^i(1-p)^{n-i}$ por lo que se reduce al caso binomial.
