¿Cuál es la explicación intuitiva de una matriz semidefinida positiva? O un ejemplo sencillo que permita intuirla más que la mera definición. Digamos que $x$ es un vector en el espacio y $M$ es una operación sobre vectores.
La definición es:
A $n$ × $n$ La matriz hermitiana M se llama positivo-semidefinido si
$$x^{*} M x \geq 0$$
para todos $x \in \mathbb{C}^n$ (o, todos $x \in \mathbb{R}^n$ para la matriz real), donde $x^*$ es la transposición conjugada de $x$ .
Una definición intuitiva es la siguiente. Multiplicar cualquier vector por una matriz semidefinida positiva. El ángulo entre el vector original y el vector resultante siempre será menor o igual que $\frac{\pi}{2}$ . La matriz definida positiva trata de mantener el vector dentro de un determinado semiespacio que lo contiene. Esto es análogo a lo que un número positivo hace a una variable real. Si se multiplica, sólo estira o contrae el número, pero nunca lo refleja en torno al origen.
Primero te diré cómo pienso en las matrices hermitianas positivas-definidas. Una matriz hermitiana positiva-definida $M$ define un producto interno sesquilíneo $\langle Mv, w \rangle = \langle v, Mw \rangle$ y, de hecho, todo producto interno en un espacio de producto interno de dimensión finita $V$ tiene esta forma. En otras palabras, es una forma de calcular ángulos entre vectores, o una forma de proyectar vectores sobre otros vectores; sobre los números reales es el ingrediente clave para hacer geometría euclidiana. Un producto interior puede recuperarse a partir de la norma $\langle Mv, v \rangle = \langle v, Mv \rangle$ que induce, y una norma a su vez puede ser recuperada de su esfera unitaria $\{ v : \langle Mv, v \rangle = 1 \}$ . Esta esfera unitaria es una versión distorsionada de la esfera unitaria habitual; las distorsiones se producirán a lo largo de los ejes correspondientes a los vectores propios de $M$ y la cantidad de distorsión corresponde a los (inversos de los) valores propios correspondientes. Por ejemplo, cuando $\dim V = 2$ es una elipse y cuando $\dim V = 3$ es un elipsoide.
Una matriz hermitiana semidefinida positiva $M$ ya no describe un producto interno porque no es necesariamente definido positivamente, pero sigue definiendo una forma sesquilínea. También define una función $\langle Mv, v \rangle$ que ya no es una norma porque no es necesariamente definida positivamente; algunos las llaman "pseudonormas", creo. La esfera unitaria correspondiente $\{ v : \langle Mv, v \rangle = 1 \}$ puede ser ahora de menor dimensión que la esfera unitaria habitual, dependiendo de cuántos valores propios sean iguales a cero; por ejemplo, si $\dim V = 3$ puede ser un elipsoide, o una elipse, o dos puntos.
Consideremos el conjunto $E$ de todos los vectores $y=Mx$ , donde $x\in\mathbb R^n$ pertenece a la esfera unitaria (es decir $\|x\|=1$ ). En otras palabras, $E$ es la imagen de la esfera unitaria bajo la transformación lineal. Si la matriz es no degenerada, $E$ es un $n$ -elipsoide de dimensiones. Pero si suponemos además que $M$ es simétrica, entonces podemos decir mucho más sobre la estructura de $E$ . En concreto, las direcciones de los ejes del elipsoide son ortogonales entre sí y están representadas por los vectores propios de la matriz. Además, las longitudes de los semiejes vienen dadas por los correspondientes valores propios.
Intuitivamente, es una matriz que es "como" un solo número $\geq 0$ .
(En relación con esto, se puede tener una función semidefinida positiva que también es "como" un número).
Tanto las matrices como las funciones en general tienen muchos (, muchos, muchos) más grados de libertad que los miembros de $\mathbb R$ . Pero las clases semidefinidas de matrices y funciones se "reducen" a algo mucho más sencillo.
Las matrices definidas positivamente son matrices que son congruente con la matriz identidad es decir, que se puede escribir como $P^HP$ para los invertibles $P$ (por alguna razón, muchos autores definen la congruencia como $N=P^TMP$ pero aquí nos guiamos por la definición hermitiana $N=P^HMP$ ).
Una de las razones por las que esto es útil es que si dos formas $M$ y $N$ son congruentes, sus correspondientes "grupos unitarios generalizados" $\{A^HMA=M\}$ y $\{B^HNB=N\}$ son isomorfas (a través de la conjugación por $P$ ). Por lo tanto, las matrices definidas positivas (así como las matrices definidas negativas, porque $-I$ también es preservado por el grupo unitario) definen un producto punto cuya geometría es isomorfa a la geometría euclidiana.
Del mismo modo, un matriz semidefinida positiva define una geometría que la geometría euclidiana es homeomorfo para decirlo de forma un poco imprecisa, dicha geometría tiene todas las simetrías de la geometría euclidiana, y quizás algunas más.
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