¿Qué es? $\left( \boldsymbol{e} \, \cdot \, \boldsymbol{\nabla} \right) \left( \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \right)$

Question

Estoy interesado en determinar lo siguiente: $$ \left( \boldsymbol{e} \, \cdot \, \boldsymbol{\nabla} \right) \left( \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \right) \, , $$ donde $\boldsymbol{a}$ , $\boldsymbol{b}$ y $\boldsymbol{e}$ son campos vectoriales.

¿Se puede aplicar aquí la regla del producto? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Dejemos que $\vec{x}_i$ denotan el $i$ elemento de una base ortogonal derecha, por lo que $$(e\cdot\nabla)(a\times b)=(e_i\partial_i)(\epsilon_{jkl}a_kb_l\vec{x}_j)$$ $$=e_i\epsilon_{jkl}(\partial_ia_kb_l+a_k\partial_ib_l)\vec{x}_j$$ $$=[(e\cdot\nabla)a]\times b+a\times[(e\cdot\nabla)]b.$$