Demuestra que $\lim_{p \to \infty} \| f \|_p = \| f \|_\infty$

Question

En un espacio con medida $1$ , $||f||_p$ es una función creciente con respecto a $p$ . Para demostrar que $\lim_{p \rightarrow \infty} ||f||_p=||f||_{\infty}$ tenemos que demostrar que $||f||_{\infty}$ es el supremum, ¿verdad?

Para demostrarlo, suponemos que $||f||_{\infty}-\epsilon$ es el supremum.

A partir del supremum esencial tenemos que $m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})=0$ .

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})>0$ .

Dejemos que $A=\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\}$ .

Tenemos que $\int_A |f|^p \leq \int |f|^p \leq ||f||_{\infty}^p$ .

$\int_A |f|^p >\int_A (||f||_{\infty}-\epsilon)^p=(||f||_{\infty}-\epsilon)^p m(A)$

Así que, $m(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<||f||_p \leq ||f||_{\infty}$

¿Cómo podríamos seguir demostrando que $m(A)>0$ ??

EDITAR:

¿Es como se sigue?

Tenemos que $0<||f||_{\infty}-\epsilon<||f||_{\infty}$ para algunos $\epsilon>0$ .

$||f||_{\infty}$ es el supremum esencial. Entonces, a partir de la definición tenemos que $m\left ( \{|f(x)>||f||_{\infty}-\epsilon\} \right )>0$ .

Dejemos que $A=\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\}$ .

Tenemos que $\int_A |f|^p \leq \int |f|^p \leq ||f||_{\infty}^p$ .

$\int_A |f|^p >\int_A (||f||_{\infty}-\epsilon)^p=(||f||_{\infty}-\epsilon)^p m(A)$

Así que, $m(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<||f||_p \leq ||f||_{\infty}$

Tomar el límite $p \rightarrow +\infty$ tenemos lo siguiente:

$$\lim_{p \rightarrow +\infty}m(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<\lim_{p \rightarrow +\infty} ||f||_p \overset{ m(A)>0 \Rightarrow \lim_{p \rightarrow +\infty}m(A)^{1/p}=1}{\Longrightarrow} \\ ||f||_{\infty}-\epsilon<\lim_{p \rightarrow +\infty} ||f||_p$$

¿Es esto correcto? ¿Cómo podemos concluir que $\lim_{p \rightarrow +\infty} ||f||_p=||f||_{\infty}$ ??

Answer 1

En primer lugar hay que demostrar que $||f||_\infty$ es un límite superior. Pero esto es inmediato por la definición de $\| \cdot\|_\infty$ .

Ahora quiere demostrar que, para todos $\epsilon$ tenemos $$\lim_{p \rightarrow \infty} \|f\|_p > ||f||_\infty - \epsilon$$

Como ya se ha observado y utilizando su notación, $m(A) = m(|f| > ||f||_\infty -\epsilon)>0$ . Ahora juntando las cosas tienes

$$\|f\|_p > (||f||_\infty- \epsilon)m(A)^{1/p}$$ para todos los valores de $p$ . Ahora basta con tomar el límite, que existe ya que la secuencia es creciente y acotada, para obtener lo que se desea.

Answer 2

El último paso se desprende de la definición del supremum esencial.

Propuesta
Si $m(\{|f| > C\}) = 0$ entonces necesariamente $C \ge \|f\|_\infty$ .

Prueba
Dejemos que $N := \{|f|>C\}$ . Por supuesto $m(N) = 0$ . Esto significa que $$\|f\|_\infty = \inf_{m(N') = 0} \sup_{x\notin N'} |f(x)| \le \sup_{x\notin N} |f(x)| = \sup_{\{|f| > C\}} |f(x)| \le C$$ como se iba a demostrar.

Ahora utiliza esta proposición junto con tus pasos iniciales para concluir una contradicción para $C = \|f\|_\infty - \epsilon < \|f\|_\infty$ .