Dejemos que $X$ sea el conjunto de todas las secuencias binarias $f:\mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}$ . Definir la métrica $d$ sur $X$ por $$ d(f,g)= \begin{cases} 0&f=g\\ \frac{1}{2^m}&m=\min\{n|f(n)\neq g(n)\}\\ \end{cases} $$ a) Demostrar que $(X,d)$ es compacto.
b) Demuestre que ningún punto de $(X,d)$ está aislado.
Mi idea: Para la parte a), tenemos que demostrar que es secuencialmente compacta, es decir, cada secuencia en $X$ tiene una subsecuencia convergente.
Dejemos que $g_n$ sea cualquier secuencia en $X$ ., entonces construye una secuencia,
$g_1(1),g_2(1),........$ , hay infinitos términos de la secuencia o bien va a $0$ o $1$ .
De la misma manera, $g_1(2),g_2(2),........$ , hay infinitos términos de la secuencia o bien va a $0$ o $1$ .
Continúa de esta manera, hay infinitas secuencias que van a $1$ o $0$ .
¿Puede alguien sugerirme cómo puedo avanzar en la construcción de una subsecuencia?
