Determinar el espectro de un operador de turno

Question

Dejemos que $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb C$ sea una secuencia tal que $|a_n|=r$ para todos $n \geq 1$ y $r \geq 0$

Definir $T: \ell^2 \to \ell^2$ por

$T(x_1,x_2,x_3,...) = (0,a_1x_1,a_2x_2,....) $ con $(x_1,x_2,....) \in l^2$

Determina el espectro de T.

El espectro de un operador se define como $\{\lambda \in \mathbb{C}: T-\lambda I \ \text{is not invertible}\}$

Sé cómo calcular los valores propios de una matriz, pero aquí no tengo ni idea de cómo empezar.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Tenga en cuenta en primer lugar que $\|T\|=r$ y así $\sigma(T)\subset\{\lambda:\ |\lambda|\leq r\}$ .

Es muy fácil comprobar que $T$ no tiene valores propios. Esto hace que normalmente sea más fácil tratar con $T^*$ . Tenemos $$ T^*x=(\overline{a_1}x_2,\overline{a_2}x_3,\ldots). $$ Supongamos que $|\lambda|<r$ . Definir una secuencia $\{c_n\}$ por $c_1=1$ y $c_{n+1}=\dfrac{c_n}{\overline{a_n}}$ y poner $x=(\lambda c_1,\lambda^2c_2,\lambda^3c_3,\ldots).$ Entonces $x\in\ell^2$ ya que $|c_n|=r^{n-1}$ y así $$ \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2=r\sum_{n=1}^\infty\left|\frac\lambda r\right|^n<\infty. $$ Ahora $$ T^*x=(\overline{a_1}x_2,\overline{a_2}x_3,\ldots) =(\overline{a_1}c_2\lambda^2,\overline{a_2}c_3\lambda^3,\ldots) =_(c_1\lambda^2,c_2,\lambda^3,\ldots)=\lambda x. $$ Así que todos esos $\lambda$ son valores propios de $T^*$ . Obtuvimos $$ \{\lambda:\ |\lambda|<r\}\subset\sigma(T^*)\subset\{\lambda: |\lambda|\leq r\}. $$ Como el espectro es siempre cerrado, obtenemos $\sigma(T^*)=\{\lambda:\ |\lambda|\leq r\}$ . Por último, dado que el espectro de $T^*$ se obtiene del espectro de $T$ conjugando los elementos, tenemos $$ \sigma(T)=\{\lambda:\ |\lambda|\leq r\}, $$ es decir, $\sigma(T)$ es la bola de radio $r$ centrado en cero.