Subgrupos simples no abelianos de $S_n$

Question

Estoy tratando de demostrar, como parte de un teorema más amplio, que si $G$ es un grupo simple no abeliano de orden $>2$ y $G$ es un subgrupo de $S_n$ entonces $G$ debe ser un subgrupo de $A_n$ .

¿Alguna idea de en qué línea debería pensar? Se me permite asumir la teoría de grupos básica y el teorema de Sylow.

Answer 1

Sugerencia: considere la restricción de la firma a $G$ como un morfismo $G\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . ¿Puede ser inyectiva?

Answer 2

Otro enfoque.

Obsérvese que para $\;n=3,4\;$ se puede comprobar directamente, ya que no hay subgrupos simples no abelianos de $\;S_n\;$ (lo más parecido es un $\;2\,-$ subgrupo de orden ocho en $\;A_4\;$ que, por supuesto, no es sencillo). Supongamos, pues, que $\;n\ge5\;$ :

$$G\rlap{\;\,/}\subset A_n\implies [G:G\cap A_n]=2\implies G\cap A_n\lhd G\implies $$

o bien $\;G\cap A_n=1\;$ o $\;G\cap A_n=G\;$ como $\;G\;$ es simple. La segunda relación lleva directamente a la contradicción $\;G\subset A_n\;$ mientras que la primera nos lleva a que podemos formar el producto semidirecto $\;A_n\rtimes G\;$ que tendría que ser igual a $\;S_n\;$ por consideraciones de orden y por lo tanto $\;G\cong C_2\;$ , contradicción, o bien, sabiendo que cualquier subgrupo de $\;S_n\;$ está contenida en $\;A_n\;$ o exactamente la mitad de sus elementos son permutaciones pares, obtendríamos $\;G\cap A_n=1\implies G=1\;$