Consideremos el grupo reducido $C^\ast$ -Álgebra $C_{\text{r}}^\ast (\mathbb{F}_2)$ del grupo libre en dos generadores $a$ y $b$ . Además, dejemos que $\phi$ sea un estado en $C_{\text{r}}^\ast (\mathbb{F}_2)$ . Sea $(g_i)_i \subseteq \mathbb{F}_2$ sea una secuencia de elementos del grupo para la que la longitud de la palabra (con respecto a los generadores $a$ y $b$ ) de $g_i$ es igual a $i$ . ¿Es entonces cierto que $\phi(\lambda_{g_i}) \rightarrow 0$ para $i\rightarrow \infty $ ? Aquí $\lambda$ denota la representación regular izquierda de $\mathbb{F}_2$ . La afirmación parece algo obvia, pero no veo cómo demostrarla.
Respuesta
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La respuesta es no.
Dejemos que $A$ sea la subálgebra cerrada de $C_{\text{red}}^*(\mathbb F_2)$ generado por $\lambda _a$ . Es fácil ver que $A$ es isomorfo a $C(S^1)$ las funciones continuas en el círculo unitario, a través de un isomorfismo que mapea $\lambda _a$ a la identidad función " $f(z)=z$ ".
Considere el estado $\varphi $ (en realidad un personaje) de $A$ definido por $$ \varphi :g\in A\mapsto g(1)\in {\mathbb C}. $$
Por un resultado bien conocido, $\varphi $ se extiende a un estado, digamos $\tilde\varphi $ de $C_{\text{red}}^*(\mathbb F_2)$ .
Configurar $g_n = a^n$ se tiene que la longitud de la palabra de $g_n$ es $n$ pero $$ \tilde \varphi (\lambda _{g_n}) = \varphi (\lambda _a^n) = z^n|_1 = 1, $$ que no converge a cero.
