¿Secuencia decreciente?

Question

Dado que $0 < a < b < 1$ Necesito establecer que la secuencia $(U\;n=b^n - a^n)$ es decreciente frente a $n$ .

Así que tomo la función real correspondiente $(f\;x=b^x - a^x)$ , entonces calculo su derivada así: $f'(x)=b^x\times (ln\:b) - a^x\times (ln\:a)$ . Normalmente debería probar que $f'(x) < 0$ para demostrar que $f$ está disminuyendo. ¿Es correcto? Sin embargo, no consigo establecer directamente a partir de los supuestos el signo de $f'$ ¡! ¿Me estoy perdiendo algo? o puede haber otra manera de probar que $f' < 0$ .

Gracias

Answer 1

¿Qué pasa con la reescritura $$ U(n)= b^n-a^n = b^n \left(1-\left(\frac ab \right)^n \right) $$ Paso 1: Aquí $ \left(\frac ab \right)^n $ llega a cero cuando $n$ ir a $\infty$ porque $ b\gt a$ (por definición del problema).

Paso 2: A continuación, todo el paréntesis pasa a $1$ .

Paso 3: Después, el cofactor $b^n$ de los paréntesis va a cero porque también $b\lt1$ (por definición del problema).

Answer 2

Tanto la exponencial como el logaritmo son crecientes por lo que $b^x>a^x$ y $ln(b)>ln(a)$ También hay que tener en cuenta que $0>ln(b)> ln(a)$ (como $0<a<b<1$ ). De ello se desprende que $b^x ln(b) < a^x ln(a)$ lo que nos lleva a la conclusión del deseo.

Answer 3

La afirmación que se quiere probar tiene que ser debilitada. Si, por ejemplo, $a=0.5$ y $b=0.99$ , entonces la secuencia $s_n:=b^n-a^n$ comienza en modo creciente. Por lo tanto, sólo podemos demostrar que la secuencia $(s_n)_{n\geq1}$ es que finalmente disminuye .

Supongamos que $n>{b\over 1-b}$ . Entonces $n>(n+1) b$ y por lo tanto $$n x^{n-1}>(n+1) b x^{n-1}\geq (n+1) x^n\qquad(a\leq x\leq b)\ .$$ De ello se desprende que $$s_n=\int_a^b n x^{n-1}\ dx>\int_a^b (n+1)x^n\ dx=s_{n+1}\ .$$