Encuentre $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_n\ln a_n}{n}$

Question

Supongamos que $a_1=2,a_2=3$ y $a_{n+2}=a_{n+1}+\dfrac{1}{\ln a_n}$ por cada $n\ge 1$ . Encuentre $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_n \ln a_n}{n}.$

En primer lugar, podemos demostrar $a_n>1$ , lo cual es fácil por inducción. Por lo tanto, $a_{n+2}=a_{n+1}+\dfrac{1}{\ln a_n}>a_{n +1}$ , lo que implica $\{a_n\}$ está aumentando. Por lo tanto, $\{a_n\}$ converge a un límite finito, o diverge al infinito positivo. Pero lo primero es imposible. De lo contrario, suponemos $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=a<+\infty$ entonces $a=a+\dfrac{1}{\ln a}$ tomando los límites de la equidad recursiva. Esa ecuación no tiene solución real. Por lo tanto, podemos afirmar $a_n \to +\infty(n \to \infty).$

¿Cómo seguir con esto?

Answer 1

Las pistas de @Mindlack y @PhoemueX son muy útiles, e intentaré dar una solución completa aquí:

Tenga en cuenta que $a_n\to +\infty\ (n\to\infty)$ tenemos $$ \begin{aligned} \ln a_{n+2} &= \ln\left(a_{n+1}+\dfrac{1}{\ln a_n}\right) \\ &= \ln a_{n+1}+\ln\big(1+\dfrac{1}{a_{n+1}\ln a_n}\big) \\ &= \ln a_{n+1}+\dfrac{1}{a_{n+1}\ln a_n}+o\Big(\dfrac{1}{a_{n+1}\ln a_n}\Big) \end{aligned} $$ así que $\dfrac{\ln a_{n+2}}{\ln a_{n+1}} = 1+o(1)$ y luego $\dfrac{\ln a_{n+2}}{\ln a_n} = 1+o(1)$ sigue. Así, $$ \begin{aligned} a_{n+2}\ln a_{n+2} &= a_{n+1}\ln a_{n+2} + \dfrac{\ln a_{n+2}}{\ln a_n} \\ &= a_{n+1}\ln a_{n+1} + \dfrac{1}{\ln a_n} + o\Big(\dfrac{1}{\ln a_n}\Big) + 1 + o(1) \\ &= a_{n+1}\ln a_{n+1} + 1 + o(1), \end{aligned} $$ según el Teorema de Stolz, se deduce que $$ \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n\ln a_n}{n} = \lim_{n\to\infty} \big( a_{n+2}\ln a_{n+2}-a_{n+1}\ln a_{n+1} \big) = 1. $$