Homomorfismo de grupo entre grupos multiplicativos de anillos

Question

Mi ejemplo concreto es que el determinante es un homomorfismo de grupo entre $GL(n, \mathbb{C})$ y los números complejos no nulos. Pero sabemos que $GL(n, \mathbb{C}) = M(n, \mathbb{C})^{\times}$ es el grupo multiplicativo de todos los $n\times n$ transformaciones lineales $M(n, \mathbb{C})$ y los números complejos no nulos $\mathbb{C}^{\times}$ es el grupo multiplicativo de los números complejos $\mathbb{C}$ . Así que tenemos

$\text{det}:M(n, \mathbb{C})^{\times} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$

es un homomorfismo. Pero $\text{det}$ definida o extendida de forma continua sobre todo el $M(n, \mathbb{C})$ también tiene la propiedad de mapear elementos no invertibles de $M(n, \mathbb{C})$ a 0, el elemento no invertible de $\mathbb{C}$ .

¿Se puede generalizar esta idea? Supongamos que $A$ y $B$ son anillos y tenemos un homomorfismo $\phi$

$$ \phi:A^{\times} \rightarrow B^{\times} $$

¿Es cierto que podemos ampliar continuamente $\phi$ a $A$ por $\tilde{\phi}$ y que al hacerlo encontraremos algo así como $\tilde{\phi}(A-A^{\times})\subset B-B^{\times}$ ? Si no es así, ¿hay alguna condición adicional que haga que algo así sea cierto?

¿Quizás la topología es necesaria para que la noción de continuidad tenga sentido...?

Answer 1

La extensión por cero siempre es posible: el conjunto de los elementos no invertibles de un anillo forman un ideal de dos lados, por lo que definir $\tilde{\phi}: A\to B$ dejando $\tilde{\phi}|_{A^\times} = \phi$ y $\tilde{\phi}_{A \setminus A^\times} = 0$ es un homomorfismo. Una pregunta más interesante podría ser cuando ésta es la única extensión de este tipo. La respuesta es que no siempre, ya que el mapa de identidad en $A^\times$ puede extenderse al mapa de identidad en $A$ .

No siempre es cierto que en tal extensión los elementos no invertibles deban ser enviados a elementos no invertibles; considere la extensión de $\mathbb{Z}^\times \hookrightarrow \mathbb{Q}^\times$ a $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ o ejemplos similares de localización.