He leído el libro "A Linear Systems Primer" [1] y he confundido las diferencias entre las definiciones de estabilidad exponencial local y global. Se definen como:
\begin{equation} \dot{x}=f(x) \tag{4.8} \end{equation} Definición 4.8 (estabilidad exponencial local). El equilibrio $x = 0$ de (4.8) es exponencialmente estable si existe un $\alpha > 0$ y para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta(\epsilon)>0$ , de tal manera que \begin{equation} ||(t, x_0 )|| \epsilon e^{-\alpha t} ~for ~all~ t 0 \end{equation} siempre que $||x_0||<\delta(\epsilon) $
Definición 4.11 (estabilidad exponencial global). El equilibrio $x = 0$ de (4.8) es exponencialmente estable en lo grande si existe $\alpha > 0$ y para cualquier > 0, existe $k() > 0$ tal que \begin{equation} ||(t, x_0 )|| k()|| x_0|| e^{\alpha t} ~for ~all ~t 0 \end{equation} siempre que $||x_0|| < $ .
La única diferencia importante que pude ver es que en la definición de la estabilidad exponencial global, hay un $||x_0||$ en la ecuación. Pero no entiendo cómo la definición 4.11 puede garantizar que la estabilidad exponencial sea global, ya que también restringe el dominio de $||x_0||$ por $||x_0|| < $ ¿así como en la definición de la estabilidad exponencial local?
Referencias:
[1] Antsaklis, Panos J., y Anthony N. Michel. A linear systems primer. Vol. 1. Boston: Birkhäuser, 2007.
