Dos preguntas sobre los homomorfismos

Question

Digamos que tengo un $\alpha: G \to H$ .

1. ¿Qué tengo que hacer para demostrar que $\alpha$ es un homomorfismo? Creía que sólo era mostrar $\alpha(g_1g_2) = \alpha(g_1)\alpha(g_2)$ . Pero alguien me dijo hoy que también tengo que mostrar $\alpha(g^{-1}) = \alpha(g)^{-1}$ . ¿Es este el caso y si es así por qué?
2. ¿Por qué es $\alpha(g^{-1}) = \alpha(g)^{-1}$ ?

Answer 1

Si $G$ y $H$ son grupos y sabes que $\alpha(g_1)\alpha(g_2)=\alpha(g_1g_2)$ para todos $g_1$ y $g_2$ entonces será necesariamente sea cierto que $\alpha(g^{-1})=\alpha(g)^{-1}$ . Demostrar esto es un ejercicio interesante (pista: demostrar primero que $\alpha(e_G)=e_H$ ).

Debido a esta implicación, no importa si uno requiere de un homomorfismo sólo que $\alpha(g_1)\alpha(g_2)=\alpha(g_1g_2)$ , o adicionalmente $\alpha(g^{-1})=\alpha(g)^{-1}$ . Ambas definiciones hacen que "homomorfismo" signifique lo mismo clase de mapas, y se pueden encontrar ambos en diferentes textos.

La razón por la que uno querría incluir lo "superfluo" $\alpha(g^{-1})=\alpha(g)^{-1}$ (o $\alpha(e_G)=e_H$ ) en una definición es que la definición más larga puede construirse sistemáticamente como "todo lo que se puede hacer en un grupo debe ser preservado por el mapa" -- y hay tres cosas que se pueden hacer en un grupo, a saber, componer elementos, tomar inversos y encontrar el elemento identidad. Esto se traduce naturalmente en una definición de "homomorfismo" en tres partes, y se generaliza sin problemas a lo que significa "homomorfismo" para estructuras algebraicas distintas de los grupos.

Answer 2

Que alguien te dijo mal.

Para demostrar que $\alpha: G \to G^{\prime}$ es un homomorfismo entre grupos $(G,\,\cdot)$ y ( $G^{\prime},\,*)$ , tiene que demostrar $\alpha(g_1\cdot g_2) = \alpha(g_1)*\alpha(g_2)$ . Usted no lo hagan también necesidad de demostrar $\alpha(g^{-1}) = \alpha(g)^{-1}$ .

Pero es es cierto que para todos los homomorfismos $\alpha: G \to G^{\prime}$ ,

• $\alpha(e) = e^{\prime}$ , donde $e$ es la identidad de $G$ y $e^{\prime}$ es la identidad de $G^{\prime}$ y con esto,
• también se puede demostrar que $\alpha(g^{-1}) = \alpha(g)^{-1}$ para $g\in G$ .
• Además, si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces $\alpha[G]$ es un subgrupo de $G^{\prime}$ y
• si $K$ es un subgrupo de $G^{\prime}$ entonces $\alpha^{-1}[K]$ es un subgrupo de $G$ .

En otras palabras, un homomorfismo $\alpha: G \to G^{\prime}$ asigna identidad a identidad, inversos a inversos y subgrupos a subgrupos.

Pero cada una de las propiedades anteriores son necesariamente implicado por la propiedad que define un homomorfismo: si se puede demostrar: $$\alpha(g_1\cdot g_2) = \alpha(g_1)*\alpha(g_2)$$ entonces habrás demostrado $\alpha: G \to G^{\prime}$ es un homomorfismo entre grupos $(G,\,\cdot)$ y ( $G^{\prime},\,*)$ . Las propiedades citadas anteriormente son las siguientes seguir .

Answer 3

Supongo que se refiere a $G$ y $H$ para ser grupos. No es necesario comprobar $\alpha(g^{-1})=\alpha(g)^{-1}$ como se deduce de la propiedad multiplicativa:

$$\begin{gather*} \alpha(g^{-1})\alpha(g)=\alpha(g^{-1}g)=\alpha(e_G)=e_H\\ \alpha(g)\alpha(g^{-1})=\alpha(gg^{-1})=\alpha(e_G)=e_H\\ \end{gather*}$$

Entonces $\alpha(g^{-1})=\alpha(g)^{-1}$ por la unicidad de los inversos.

(Tenga en cuenta que $\alpha(e_G)=e_H$ se deduce por un argumento similar, utilizando la propiedad multiplicativa, y la unicidad de la identidad).

Answer 4

Set $g_2=e_G$ y encuentras $\alpha(e_G)=e_H$ . A continuación, establezca $g_2=g_1^{-1}$ y tienes tu implicación.

Answer 5

Por definición, $\alpha:G\to H$ es un homomorfismo de grupo si para todo $x,y\in G$ tenemos $\alpha(xy)=\alpha(x)\alpha(y)$ .

Ahora dejemos que $1_G$ sea el elemento de identidad de $G$ . Entonces $\alpha(1_G)=1_H\cdot\alpha(1_G)=(\alpha(1_G)^{-1}\cdot\alpha(1_G))\cdot\alpha(1_G)=\alpha(1_G)^{-1}\cdot\alpha(1_G)\alpha(1_G)=\alpha(1_G)^{-1}\cdot\alpha(1_G\cdot1_G)=\alpha(1_G)^{-1}\cdot\alpha(1_G)=1_H.$

Eso es, $\alpha$ asigna automáticamente la identidad de $G$ a la identidad de $H$ .

Para cualquier $x\in G$ entonces tenemos $\alpha(x)\alpha(x^{-1})=\alpha(x\cdot x^{-1})=\alpha(1_G)=1_H$ por lo anterior; esto demuestra que $\alpha(x^{-1})$ es inverso a $\alpha(x)$ y por la unicidad de los inversos (supongo que habrás demostrado que / tenía eso en el respectivo axioma de grupo), $\alpha(x^{-1})=\alpha(x)^{-1}$ .

Así que 2. es una propiedad que ya se deduce de la definición de un homomorfismo de grupo, por lo que no tienes que demostrarlo por separado.