Lógica en matemáticas y filosofía

Question

Cuáles son las relaciones entre la lógica como área de la filosofía (moderna) y la lógica matemática.

El mundo "moderno" se refiere al siglo XX y posteriores, y tengo curiosidad principalmente por la segunda mitad del siglo XX.

Antecedentes y motivación

La lógica es un área antigua de la filosofía que, si bien se ha estudiado ampliamente en las universidades durante siglos, no ha ocurrido mucho (a diferencia de otras áreas de la filosofía) desde la antigüedad hasta finales del siglo XIX. El desarrollo de la lógica en la primera parte del siglo XX a partir de Frege, Russell y otros es un punto de inflexión tanto en la lógica como área de la filosofía como en la lógica matemática. En la primera mitad del siglo XX hubo estrechas conexiones entre el desarrollo de la lógica como área de la filosofía y el desarrollo de la lógica matemática. Más tarde, además de su interés para los matemáticos y los filósofos, la lógica se convirtió en un campo aplicado central en la informática.

Mi pregunta se refiere a las relaciones entre la lógica como parte de la filosofía y la lógica matemática de la segunda mitad del siglo XX, cuando parece que las conexiones entre estas dos áreas se han debilitado. Por lo tanto, estoy preguntando sobre modelos formales desarrollados en la filosofía que se han convertido en importantes en la lógica matemática y sobre los trabajos en lógica filosófica que fueron motivados o influenciados por los desarrollos en lógica matemática.

También tengo bastante curiosidad por las razones de las conexiones mucho más débiles entre la lógica matemática y los modelos formales desarrollados por los filósofos en la última parte del siglo XX. (Esto hace que esta cuestión sea mucho menos abordable de lo que parece. Otra cosa por la que siento curiosidad es hasta qué punto los modelos formales descritos por los filósofos resultaron útiles para las aplicaciones de la informática.

Actualización : Para complementar las excelentes respuestas ya dadas, trataré de pedir a algunos investigadores adicionales en campos relevantes que contribuyan directamente o a través de mí.

Actualización Aunque quedó claro en algunas de las respuestas, permítanme explicitar que me refiero también a las relaciones entre la filosofía y la teoría de conjuntos.

Pregunta relacionada con el MO: ¿De qué manera la filosofía de Leibniz anticipó las matemáticas modernas? ¿Ha aclarado alguna vez la filosofía las matemáticas?

Answer 1

Un candidato más reciente podría ser Lógica lineal que es una formalización exitosa de modos de razonamiento de considerable interés filosófico . Recomiendo encarecidamente los inimitables artículos de Jean-Yves Girard, empezando por el seminal Lógica lineal (1987).

Para los que no saben nada de lógica lineal, una idea central es que es una lógica que tiene en cuenta la conservación de los recursos. Una metáfora podría ser las reacciones químicas o las transacciones económicas. Para dar una ilustración sencilla: en la lógica clásica, unas proposiciones dadas $A \to B$ y $A \to C$ se puede inferir la proposición $A \to B \wedge C$ . Pero esto puede entrar en conflicto con algunas interpretaciones cotidianas. Por ejemplo $A$ para ser "tengo un dólar", $B$ a ser "puedo comprar esa barra de chocolate", y $C$ ser "puedo comprar esa botella de leche". Las proposiciones "si tengo un dólar, entonces puedo comprar esa barra de chocolate", y "si tengo un dólar, entonces puedo comprar esa botella de leche" pueden ser ciertas, pero el vendedor puede no aceptar "si tengo un dólar, entonces puedo comprar esa barra de chocolate y puedo comprar esa botella de leche" bajo la interpretación cotidiana.

Así, en contraste con la lógica clásica, en la que se nos permite usar la misma premisa repetidamente a lo largo de una deducción (o no usarla en absoluto) -codificada formalmente por reglas de debilitamiento y contracción para "y" y "o"- la lógica lineal descarta esas reglas, o al menos introduce una distinción entre dos nociones de "y", y también una modalidad para relacionarlas. Conserva la ventaja de la lógica clásica de que la negación es simétrica (una equivalencia contravariante), y la ventaja de la lógica intuicionista de que admite una semántica rica (más rica que la lógica clásica) en el sentido de un paradigma de "proposiciones como tipos" (como se explica, por ejemplo, en Proofs and Types de Girard).

Si la lógica proposicional clásica se algebraiza en forma de álgebra de Boole, entonces se podría decir que la lógica lineal se algebraiza en forma de categorías simétricas monoidales, más exactamente de $\ast$ -categorías autónomas cuando se tiene en cuenta la negación. (A $\ast$ -La categoría autónoma es, a grandes rasgos, una categoría monoidal simétrica dotada de una autoequivalencia contravariante que es convenientemente compatible con el tensor; la noción fue introducida por Barr con vistas a las dualidades en el análisis funcional, entre otras cosas). Ha despertado un gran interés entre los informáticos teóricos.

Answer 2

La inclusión por parte de Neel de un informático es indicativa de la maneras en la que esa disciplina media entre la lógica matemática y la filosófica. Temporal y las lógicas modales son buenos casos de una situación en la que la motivación filosófica inicial es arrastrada por preocupaciones más prácticas, por ejemplo, comprobación de modelos en el caso de la lógica temporal. La sofisticación matemática suele entonces aumentar. Ahora bien, para trabajar en la lógica modal (de primer orden) había mejor tener la teoría de la gavilla al día.

Answer 3

Aquí está Harvey Friedman (presentada aquí con su amable permiso).

"Desde mi punto de vista, los fundamentos de las matemáticas son, con mucho, lo más interesante, no la lógica matemática ni la lógica filosófica. Aquí es donde se producen los verdaderos avances de interés intelectual general. Sé que esto no responde a su pregunta, pero indica dónde están mis intereses".

A mi petición, Harvey explicó brevemente su distinción entre "Fundación de las matemáticas", "lógica matemática" y "lógica filosófica".

"1) Fundamentos de las matemáticas . Aquí se considera la "práctica de las matemáticas" (práctica matemática) como objeto de estudio, sin cuestionar su "corrección", "validez", etcétera. La práctica matemática se trata como un fenómeno que hay que modelizar, no como una actividad que hay que cuestionar. Un modelo burdo de la práctica matemática es el sistema ZFC. Los modelos más finos vienen dados por fragmentos de ZFC. Ha habido descubrimientos sorprendentes, empezando por Goedel. Los avances se juzgan según el grado de conocimiento que se obtiene sobre la práctica matemática. El futuro es enorme, ya que hay todo tipo de aspectos de la práctica matemática que en la actualidad no han sido modelados adecuadamente o sólo parcialmente, pero que son prometedores para una modelización más profunda. Por ejemplo, la clasificación, la simplicidad o la naturalidad.

2) Lógica matemática . Se trata de una rama de las matemáticas que investiga las diversas estructuras matemáticas fundamentales que emanan de los Fundamentos de las Matemáticas, por sí mismas. No se trata de abordar cuestiones de Fundamentos de las Matemáticas. Una subárea de la Lógica Matemática es clarificadora: ha habido algunos intentos razonablemente exitosos de aplicar estas investigaciones a problemas y contextos de las matemáticas, creando una herramienta matemática útil. El nombre más común para esto es Teoría de Modelos Aplicada.

3) Lógica filosófica . Se trata de analizar y tratar las nociones lógicas en su forma más rudimentaria, independientemente de cómo se utilicen en las matemáticas. Las matemáticas, como todo lo demás, son algo que hay que cuestionar, justificar, criticar, etc. No he trabajado en esto, porque no percibo perspectivas realistas de hallazgos espectaculares - o al menos, las perspectivas realistas son mucho mayores en 1.

Fundamentos de las Matemáticas está entre las matemáticas y la filosofía, y tiene una perspectiva diferente a cualquiera de las dos. "

Answer 4

Dado que Gil Kalai ha preguntado sobre " modelos formales desarrollado en la filosofía que había llegado a ser importante en la lógica matemática y sobre los trabajos en lógica filosófica que fueron motivados o influenciados por los desarrollos en lógica matemática", vale la pena señalar una serie de entrevistas bien organizadas con 39 lógicos, matemáticos y filósofos realizadas por Vincent F. Hendricks y John Symons que buscan responder precisamente a esta pregunta. Estas entrevistas están recogidas en dos volúmenes, Filosofía formal (2005) y Masas de Filosofía Formal (2006). Los extractos de ambas colecciones están disponibles en http://formalphilosophy.com/ . Estas entrevistas son una lectura muy interesante.

Answer 5

[Edición. En esta respuesta escribí sobre "lógica filosófica" y "lógica matemática" en el sentido habitual de estos términos. Pero también creo que la diferencia entre ellos es muy convencional. Por ejemplo, las personas que estudian el conocimiento formalmente por medio de las lógicas epistémicas modales (como modelos formales) y las que estudian las lógicas de la demostrabilidad en gran medida (si uno se olvida de las motivaciones reales) están haciendo las mismas cosas: están investigando varias lógicas modales].

"Mi pregunta es sobre las relaciones entre la lógica como parte de la filosofía y la lógica matemática a partir de la segunda mitad del siglo XX, cuando parece que las conexiones entre estas dos áreas se han debilitado".

"También tengo bastante curiosidad por las razones de las conexiones mucho más débiles entre la lógica matemática y los modelos formales desarrollados por los filósofos en la última parte del siglo XX".

La razón principal es que la lógica matemática se ocupa de los modelos del pensamiento matemático, pero la lógica filosófica construye modelos para diversas partes de la filosofía que son muy diferentes de las matemáticas (es decir, pueden utilizar modalidades, analogía, inducción, etc.).

Para dar un ejemplo de "modelos formales desarrollados en filosofía que se han convertido en importantes en la lógica matemática", la lógica de la probabilidad es un ejemplo de ello. Citando la Enciclopedia Stanford de filosofía:

"La lógica de la demostrabilidad es una lógica modal que se utiliza para investigar lo que las teorías aritméticas pueden expresar en un lenguaje restringido sobre sus predicados de demostrabilidad".

Así pues, las lógicas de demostrabilidad son lógicas modales que capturan la demostrabilidad en sistemas formales de lógica matemática. La lógica de la demostrabilidad se considera un área de la lógica matemática (representada por Robert M. Solovay, George Boolos, Sergei Artemov, Lev Beklemishev, Giorgi Japaridze, Dick de Jongh, etc.) y utiliza modelos, ideas y técnicas de la lógica modal, que es (en todo caso, era) parte de la lógica filosófica.

"Otra cosa por la que siento curiosidad es hasta qué punto para las aplicaciones a la informática los modelos formales descritos por los filósofos resultaron útiles".

De nuevo, los artículos originales de Kripke no se referían en absoluto a la informática. Kripke descubrió otra forma de interpretar las modalidades y el contexto era filosófico. Pero hoy en día todo el campo de la verificación de programas en informática se basa en la lógica modal. Se han desarrollado muchas lógicas modales específicas en CS que modelan aspectos específicos (lógicas temporales, lógicas dinámicas, etc.). Los resultados cruciales sobre ellos, como la expresividad, la decidibilidad y la completitud, se demuestran utilizando esencialmente las mismas ideas que las de los artículos originales en el contexto filosófico.

Por último, para hablar "de los trabajos en lógica filosófica que fueron motivados o influenciados por los desarrollos en lógica matemática", cito lo que dije en el hilo meta:

"En este siglo está creciendo un nuevo e interesante campo de la filosofía, a menudo llamado Filosofía Formal (este término creo que tiene su origen en el título del libro de artículos recopilados de Richard Montague). La gente de este campo (entre ellos R. Montague, H. Putnam, E. Zalta, D. Bonnay...) está tratando de resolver problemas filosóficos utilizando la lógica formal. En particular, y esto es importante, muchos de ellos tratan de formalizar tipos de razonamiento como la modalidad, la inducción, la analogía, la simplicidad, la naturalidad, la generalización, etc., así como teorías filosóficas concretas (que, por supuesto, están en el dominio de la lógica filosófica) utilizando formalismos y métodos de la lógica matemática.

1. Los trabajos de Montague muestran que el lenguaje natural no es TAN diferente de los lenguajes formales, su sintaxis y su semántica tienen una fuerte estructura. Se puede decir que son semiformales. Por eso podemos aplicar todas las técnicas y resultados de la lógica matemática, en la que se formalizan y estudian profundamente los lenguajes específicamente matemáticos. Como resultado tenemos un campo de teoría formal del lenguaje natural y sus aspectos (gramática, semántica, desarrollo, etc.). Puede ver la amplia gama de temas presentados en esta conferencia: http://lacl.gforge.inria.fr/lacl-2011/appel.html . Esto abre el camino para hacer filosofía del lenguaje formalizando los problemas y respondiendo a ellos mediante pruebas matemáticas.

2. La obra de Hilary Putnam presenta intentos de abordar los problemas de la filosofía de la mente y la filosofía del lenguaje mediante la comparación con modelos formales. Citando su trabajo "Modelos y realidad": "En este trabajo quiero retomar los argumentos de Skolem, no con el objetivo de refutarlos, sino con el objetivo de ampliarlos en cierto modo en la dirección que él parecía indicar. No pretendo que la "paradoja de Lowenheim-Skolem" sea una antinomia en la lógica formal; pero sí argumentaré que es una antinomia, o algo parecido, en la filosofía del lenguaje. Más aún, argumentaré que la resolución de la antinomia -la única resolución que yo mismo veo que tiene sentido- tiene profundas implicaciones para la gran disputa metafísica sobre el realismo que siempre ha sido la disputa central en la filosofía del lenguaje." Véanse sus artículos recopilados.

3. Edward Zalta en su Principia Metaphysica tiene una formalización de las nociones generales de objetos abstractos y concretos. En matemáticas (hoy en día) los objetos más básicos son los conjuntos. En la Monadología de Leibniz (que es pura teoría filosófica) son mónadas. Zalta formaliza las mónadas y hace Monadología formalmente. Así como la teoría de las formas de Platón, la teoría de los objetos meinongianos, la teoría de las situaciones, la teoría de los mundos, la teoría de los tiempos. Además, Zalta afirma que su formalización permite obtener nuevas nociones abstractas útiles (objetos) de forma automática mediante la demostración mecanizada de teoremas. Véase su página web".