Lógica en matemáticas y filosofía

Question

Cuáles son las relaciones entre la lógica como área de la filosofía (moderna) y la lógica matemática.

El mundo "moderno" se refiere al siglo XX y posteriores, y tengo curiosidad principalmente por la segunda mitad del siglo XX.

Antecedentes y motivación

La lógica es un área antigua de la filosofía que, si bien se ha estudiado ampliamente en las universidades durante siglos, no ha ocurrido mucho (a diferencia de otras áreas de la filosofía) desde la antigüedad hasta finales del siglo XIX. El desarrollo de la lógica en la primera parte del siglo XX a partir de Frege, Russell y otros es un punto de inflexión tanto en la lógica como área de la filosofía como en la lógica matemática. En la primera mitad del siglo XX hubo estrechas conexiones entre el desarrollo de la lógica como área de la filosofía y el desarrollo de la lógica matemática. Más tarde, además de su interés para los matemáticos y los filósofos, la lógica se convirtió en un campo aplicado central en la informática.

Mi pregunta se refiere a las relaciones entre la lógica como parte de la filosofía y la lógica matemática de la segunda mitad del siglo XX, cuando parece que las conexiones entre estas dos áreas se han debilitado. Por lo tanto, estoy preguntando sobre modelos formales desarrollados en la filosofía que se han convertido en importantes en la lógica matemática y sobre los trabajos en lógica filosófica que fueron motivados o influenciados por los desarrollos en lógica matemática.

También tengo bastante curiosidad por las razones de las conexiones mucho más débiles entre la lógica matemática y los modelos formales desarrollados por los filósofos en la última parte del siglo XX. (Esto hace que esta cuestión sea mucho menos abordable de lo que parece. Otra cosa por la que siento curiosidad es hasta qué punto los modelos formales descritos por los filósofos resultaron útiles para las aplicaciones de la informática.

Actualización : Para complementar las excelentes respuestas ya dadas, trataré de pedir a algunos investigadores adicionales en campos relevantes que contribuyan directamente o a través de mí.

Actualización Aunque quedó claro en algunas de las respuestas, permítanme explicitar que me refiero también a las relaciones entre la filosofía y la teoría de conjuntos.

Pregunta relacionada con el MO: ¿De qué manera la filosofía de Leibniz anticipó las matemáticas modernas? ¿Ha aclarado alguna vez la filosofía las matemáticas?

Answer 1

Estoy de acuerdo con los comentaristas en que la pregunta es demasiado amplia, pero aquí hay un intento de responderla de todos modos.

Es probable que los lectores de MO estén menos familiarizados con la lógica no matemática, por lo que puede ser útil empezar a hojear los índices de los 18 volúmenes (!) Manual de lógica filosófica para tener una idea de lo que la gente entiende por "lógica filosófica". [ Editar : El enlace anterior ya no funciona; se pueden encontrar algunos contenidos utilizando Google Books y el La máquina del retroceso .] Incluye muchos temas que probablemente no sean familiares para los matemáticos, como la lógica temporal, la lógica multimodal, el razonamiento no monotónico, los sistemas deductivos etiquetados y la teoría de la falacia.

A grandes rasgos, la lógica filosófica es el estudio general de razonamiento y temas relacionados. Como en otras áreas de la filosofía, este estudio no es necesariamente formal . Sin embargo, el éxito de los métodos formales en la lógica matemática ha llevado a los filósofos a intentar formalizar muchos otros tipos de razonamiento. Formalizado lógica modal son quizás los más conocidos. No siempre se clasifican como "lógica matemática" porque en las matemáticas no se suele razonar formalmente sobre conceptos como posibilidad, necesidad, creencia, etc. Por otra parte, una vez que un sistema de lógica se ha hecho lo suficientemente formal, puede, por supuesto, ser objeto de estudio matemático. Así, la frontera entre (por ejemplo) la lógica modal formal y la lógica matemática tradicional es algo borrosa. Un ejemplo notable de la fertilización cruzada que es posible aquí es el libro de Fitting y Smullyan sobre La teoría de conjuntos y el problema del continuo que desarrolla el tema (altamente matemático) del forzamiento desde la perspectiva de la lógica modal, proporcionando un enfoque fresco y completamente riguroso a un tema matemático ya clásico.

Si tuviera que resumirlo en una frase, diría que la lógica matemática es el subcampo de la lógica filosófica dedicado a los sistemas lógicos que se han formalizado lo suficiente como para admitir un estudio matemático. Esta es una definición de la lógica matemática un poco más amplia de lo que es habitual, pero creo que es una buena definición en el contexto de esta pregunta del modus operandi, que tácitamente parece estar preguntando si los matemáticos tienen algo que aprender de la llamada "lógica filosófica".

Answer 2

Quizás esto (de G.-C. Rota, en "The Pernicious Influence of Mathematics upon Philosophy") sea relevante:

La falsa terminología filosófica de la lógica matemática ha inducido a los filósofos a creer que la lógica matemática se ocupa de la verdad en el sentido filosófico. Pero esto es un error. La lógica matemática no se ocupa de la verdad, sino del juego de la verdad.

Answer 3

Es más fácil enumerar las diferencias que las similitudes entre los dos tipos de lógica.

La lógica matemática es la rama de las matemáticas que estudia la actividad matemática. Tiene todas las propiedades habituales de una rama matemática. Utiliza los métodos matemáticos habituales, como el método axiomático, la teoría informal de conjuntos y la notación simbólica. Se aleja de la situación real al ignorar muchos aspectos de la actividad matemática real, por ejemplo, se centra sobre todo en cómo se demuestran los enunciados matemáticos y lo que significan, pero dice poco sobre las conjeturas, las analogías, la elegancia o sobre las matemáticas como actividad humana. Plantea sus resultados en términos de teoremas matemáticos (en lugar de, por ejemplo, ensayos críticos o estudios históricos).

La lógica filosófica, por su parte, intenta atacar su objeto de interés, que podríamos caracterizar a grandes rasgos como razonamiento En el caso de la filosofía, se trata de un conjunto y de muchos ángulos diferentes, como es habitual en la filosofía. Así, además de utilizar el método deductivo, podemos considerar los aspectos lingüísticos de la lógica, o la lógica en relación con la religión, podemos aprender algo sobre la lógica observando su desarrollo histórico, podemos situarla en el contexto sociológico, etc. En consecuencia, ningún tratamiento único de la lógica será aceptado como exhaustivo por los (buenos) filósofos. De hecho, será difícil que los filósofos se pongan de acuerdo sobre qué es precisamente la lógica filosófica.

Es ingenuo pensar que la lógica matemática es superior a la lógica filosófica. Ciertamente, la lógica matemática es superior a la lógica filosófica en ciertos aspectos, pero nunca hay que olvidar que el ámbito de la lógica matemática es muy estrecho y, por lo tanto, no es de extrañar que la lógica matemática se jacte de tener conocimientos más profundos y técnicamente más complicados que la lógica filosófica.

Answer 4

Estoy de acuerdo con las respuestas de Timothy y Andrej, y las complementaré sugiriendo algunos libros de filósofos y lógicos con inclinación filosófica que he encontrado muy interesantes. Estoy seguro de que la lista podría ser mucho más larga, e incluso más variada:

• Michael Dummett, La base lógica de la metafísica

• Alain Badiou, Números y cifras

  Los dos primeros libros son, en cierto modo, complementos. Dummett es un filósofo analítico e intuicionista, cuyos escritos han tenido una profunda influencia entre los matemáticos constructivos. Badiou es un filósofo continental y un realista teórico de conjuntos (más o menos). Pero ambos están profundamente preocupados por lo que las matemáticas pueden decir sobre nuestro entendimiento, y viceversa.

• David Lewis, Contrafactuales

• Judea Pearl, Causalidad

  Lewis es filósofo y Pearl es informático. Merece la pena leer ambos libros para ver la clara línea de descendencia intelectual de Lewis a Pearl. (A ello contribuye en gran medida el hecho de que Pearl no duda en marcar su rastro intelectual).

• John L. Bell, Un manual de análisis infinitesimal

  Creo que cualquiera que quiera entender realmente la física necesita comprender cómo las prácticas de los físicos difieren de las formalizaciones oficiales de teorías como el cálculo. Por ejemplo, básicamente todos los físicos utilizan mucho los infinitesimales en lugar de los argumentos épsilon-delta. Esto plantea la pregunta: ¿cómo hace esto ¿tiene algún sentido?

  Bell ha utilizado la geometría diferencial sintética para estudiar esta cuestión, y fue uno de los primeros defensores del uso de métodos topos-teóricos para formalizar las teorías físicas (una idea que Isham y Doering han utilizado recientemente en su trabajo sobre la gravedad cuántica).

Answer 5

En el hilo meta se ha comentado que las respuestas de los no expertos son inútiles. Sin embargo, he pensado en permitirme algunas observaciones (que en realidad sólo abordan una pequeña parte de la cuestión). El objetivo es que los expertos me corrijan, si se les puede molestar para que lo hagan. Con esta contribución, tal vez esta respuesta pueda ser útil también para otros.

Mi respuesta a la pregunta original es que no hay relaciones sustanciales en este momento. Esto se debe a que

La lógica matemática se ocupa principalmente de las matemáticas;

mientras que

La lógica filosófica se ocupa principalmente de la filosofía.

Esta caracterización es obviamente una simplificación excesiva, pero me pregunto si no capta la distinción en lo esencial.

Aquí hay una breve descripción en Wikipedia de la investigación de A. C. Grayling, quien, según deduzco, es una persona bastante distinguida en la lógica filosófica:

`Sus principales intereses en la filosofía técnica se encuentran en la intersección de la teoría del conocimiento, la metafísica y la lógica filosófica, a través de la cual intenta definir la relación entre la mente y el mundo, desafiando así el escepticismo filosófico. Grayling utiliza la lógica filosófica para contrarrestar los argumentos de los escépticos y tratar de arrojar luz sobre las ideas tradicionales del debate sobre el realismo y el desarrollo de las opiniones asociadas sobre la verdad y el significado'.

Esto me suena a filosofía.

Por otro lado, si examinamos el trabajo de gente destacada en la teoría de modelos (la única rama de la lógica matemática con la que tengo algún conocimiento pasajero como Udi Hrushovski, Angus Macintyre, Anand Pillay y Boris Zilber, es difícil no pensar que se parece a la "geometría algebraica generalizada". De hecho, las aplicaciones a la geometría algebraica y a la teoría de números constituyen un pilar de su trabajo.

En cuanto a las razones, he sacado algunas conclusiones de algunos pasajes divertidos del prefacio del libro de texto de Van Dalen sobre lógica (que ahora mismo no tengo a mano). Escribe sobre la tradición "sagrada" de la lógica matemática, estrechamente relacionada con el programa de Hilbert y los fenómenos de incompletitud, donde los fundamentos se manejaban con gran cuidado y temor. A continuación, describe su propio encuentro con las clases de teoría de la recursión de Hartley Rogers, en las que la lógica se trataba como cualquier otra rama de las matemáticas, por ejemplo el álgebra lineal o el análisis complejo. A esto se refiere como la tradición "profana", obviamente más alejada de los orígenes filosóficos. Me pregunto si no será que los lógicos matemáticos simplemente se aburrieron de la tradición sagrada (en consonancia con la tendencia del siglo XX a encontrar aburridas muchas cosas sagradas). En cualquier caso, parece relativamente claro que la tradición profana es más dominante entre los practicantes actuales. Una forma de ver esto, según una vieja conversación con Hrushovski, es que los artículos de lógica matemática contienen tantos errores como los de geometría algebraica.

Debido a mi ignorancia, puede que se me escape la posibilidad de que la Teoría de Pruebas y la Teoría de Conjuntos estén todavía algo cerca de la filosofía. Pero la respuesta simplista sigue pareciendo razonable.

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Justo después de publicar lo anterior, me di cuenta de un fallo evidente en mi propio argumento. Podría haber escrito, por ejemplo,

La teoría matemática gauge se ocupa principalmente de las matemáticas;

mientras que

La teoría gauge física se ocupa principalmente de la física.

Pero sería ridículo afirmar que no existen relaciones sustanciales entre ambos. Así que si mi conclusión es correcta, requeriría una discusión más elaborada. Oh, bueno, tal vez más tarde.

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He aquí una respuesta a mi propia objeción. La diferencia entre los dos casos mencionados tiene poco que ver con la lógica y la teoría de las galgas en particular. Es decir, la lógica matemática y la lógica filosófica tienen poco en común simplemente porque las matemáticas y la filosofía tienen poco en común. Por lo tanto, diferencia de objetivos es suficiente para producir una divergencia de métodos e ideas. Los problemas físicos, en cambio, se resuelven en el lenguaje de las matemáticas. Por lo tanto, la coincidencia de origen llega a ser suficiente para mantener un hilo apretado entre, por ejemplo, las dos teorías gauge.

Este análisis superficial es todo lo que tengo tiempo para hacer ahora, pero tal vez sea plausible.