¿Qué es una trayectoria continua?

Question

Me gustaría que me ayudaran, porque me estoy volviendo loco intentando responder a lo siguiente

Pregunta: Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, ¿qué es un camino continuo en $X$ ?

Bueno, tal vez ya te estés poniendo nervioso pensando: es sólo una función continua $\gamma:[0,1]\rightarrow X$ . Esta definición funciona muy bien para las variedades y, más generalmente, para los espacios que contienen copias homeomórficas del intervalo $[0,1]$ pero se vuelve trivial e inútil en todos los demás casos, incluyendo algunos de gran interés: los grafos y, más generalmente, los espacios métricos localmente finitos en el mundo discreto, pero también los objetos no estándar como ${}^*\mathbb R$ .

En algún momento, me he dado cuenta de una cosa muy estúpida; a saber, que la laguna en la definición clásica de un camino continuo es que la noción de continuidad es impuesta desde el exterior tomando como unidad de medida el intervalo de unidades $[0,1]$ . Esto es bastante arbitrario, ¿no? Esta observación fue en cierto modo revolucionaria, al menos para mí: en ese momento, cerré los ojos, imaginé vivir en un espacio topológico e intenté captar una noción de continuidad desde dentro : una respuesta natural es que sonaría, a grandes rasgos, como: la continuidad es pasar de un punto a otro haciendo los pasos más cortos posibles...

Esta definición filosófica puede formalizarse para una clase bastante general de espacios métricos (que contienen, por ejemplo, todos los grafos conectados localmente finitos)

Ejemplo: Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico localmente finito. Dado $x\in X$ , denótese por $dN_1(x)$ la bola cerrada más pequeña sobre $x$ que contiene al menos dos puntos. Se puede definir una trayectoria continua en $X$ para ser una secuencia de puntos $x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}x_n$ tal que, para todo $i$ , $x_i\in dN_1(x_{i-1})$ y $x_{i-1}\in dN_1(x_i)$ . Siguiendo una idea similar, uno se siente tentado a definir la homotopía entre caminos y así sucesivamente.

Todo funciona inesperadamente bien como puede ver, si le interesa, en http://arxiv.org/abs/1111.0268 . Como ha señalado Tim Porter, Helene Barceló y sus coautores han desarrollado ideas similares.

Lo que me gustaría hacer ahora es abordar el problema de la definición de un teoría de la homología intrínseca que puede ser de interés para cualquier espacio topológico.

Subpregunta: ¿sabe si alguien ha intentado hacer algo similar?

En caso de respuesta negativa a la subpregunta, agradecería también cualquier ayuda para encontrar la respuesta a la primera pregunta. De hecho, estoy realmente satisfecho del caso localmente finito y me gustaría formalizar la definición filosófica: un camino continuo que conecta $x$ a $y$ es una forma de pasar de $x$ a $y$ haciendo los pasos más cortos posibles. Pero no tengo en absoluto claro cómo hacerlo formal para un espacio topológico general.

Gracias de antemano,

Valerio

Actualización: Por si alguien está interesado, algunas de estas ideas fueron finalmente aceptadas para su publicación en un artículo con Jacob White y Helene Barcelo en el Bull London Math Soc. http://arxiv.org/pdf/1306.3915.pdf

Answer 1

Hay algo como la cohomología de Cech. Es la cohomología de Alexander-Kolmogorov (véase Spenyer "Algebraic topology", Alexander cohomology). Las simplicidades en esta teoría son colecciones de puntos cercanos. Según tengo entendido, funciona bien para espacios localmente contractibles (y coincide con la cohomología de Cech). Pero parece que en tu situación también funciona bien.

Answer 2

Me parece que sus inventos están relacionados con homología persistente desarrollado por Weinberger, Carlsson y otros. Hay un artículo informativo "What is..." sobre esto de Weinberger: http://www.ams.org/notices/201101/rtx110100036p.pdf . La idea es tomar un subconjunto discreto del espacio euclidiano y calcular su homología en todas las escalas diferentes esencialmente cubriéndolo con bolas de un radio determinado $R$ y analizando lo que ocurre como $R$ varía. Si su espacio tiene un ciclo en él, este ciclo será detectado para un cierto rango de valores de $R$ y la suposición es que las estructuras importantes "persisten" para más valores de $R$ .

Otra idea que podría estar relacionada es la de Roe geometría gruesa . También hay un artículo "Qué es..." sobre esto: http://www.ams.org/notices/200606/whatis-roe.pdf . Aquí el interés está en los espacios discretos infinitos (o realmente cualquier espacio métrico no compacto), y hay un cohomología gruesa teoría que sólo detecta la geometría a gran escala de un espacio.

Answer 3

Otra posible dirección en el grupo fundamental(oid) se da una especie de encuesta en mi documento

Tres temas en la obra de Charles Ehresmann: Local-to-global; Groupoids; Higher dimensions', Proceedings of the 7th Conference on the Geometry and Topology of Manifolds: The Mathematical Legacy of Charles Ehresmann, Bedlewo (Polonia) 8.05.2005-15.05.2005, Publicaciones del Centro Banach 76, Instituto de Matemáticas Academia Polaca de Ciencias, Varsovia, (2007) 51-63. (math.DG/0602499).

en relación con los temas de la monodromía y la holonomía, y los trabajos de Jean Pradines. Aquí uno se interesa por la noción de "iteración de procedimientos locales" en el contexto de la teoría de los manifiestos. La pregunta que se plantea en ese trabajo es: ¿Se pueden utilizar estas ideas en otras situaciones para obtener monodromías (es decir, análogos de "coberturas universales") en situaciones en las que no existen caminos pero sí "iteraciones de procedimientos locales"? Esto parece estar relacionado con la pregunta de Valerio.

Answer 4

Soy completamente lego en la materia, pero he encontrado esta pregunta porque he pensado en la misma idea que el OP. Al principio me pregunté por qué un objeto tan discreto como el simplex combinatorio puede describir algo continuo como el toro topológico, por ejemplo. Y mi respuesta fue la siguiente: porque la teoría de la homología utiliza conjuntos simpliciales en posición general, lo que significa que sólo las intersecciones de varios simplex n dimensionales importa. Quiero decir que podemos reducir toda la teoría a un equivalente, usando elementos de 0 dimensiones (puntos), y varios conjuntos que representan simples más complicados. Por ejemplo, un segmento de línea es sólo un conjunto discreto (1,2) donde 1 y 2 son sólo los extremos. En esta representación, el camino es sólo una familia de conjuntos ordenados cuando los conjuntos siguientes tienen intersecciones no vacías. Para los espacios discretos puede haber incluso restricciones al tamaño de dichas intersecciones: debe ser un conjunto de la cardinalidad estrictamente mínima. En el caso de conjuntos de 2 elementos, sólo debe consistir en conjuntos de 1 elemento, en el caso de conjuntos de 3 elementos, sólo en conjuntos de 2 elementos, etc. En este caso, el complejo es un conjunto que consta de varios subconjuntos, con diferentes cardinalidades. Por ejemplo, el triángulo (combinatorio) sería: (1,2,2,(1,2),(2,3),(3,1),(1,2,3)). En este contexto, un agujero en un complejo es una situación en la que hay un "camino cerrado" (los conjuntos primero y menor son los mismos) pero no hay ningún conjunto en el que los elementos sean la suma de los conjuntos que forman el camino. Supongo que se deduce algo que es muy similar a la homología de Čech, pero no tengo conocimiento para decidir si es.

Lo interesante es que no debe ser muy complicado utilizarlo para objetos discretos como los gráficos. Sólo habría que considerar no sólo puntos, sino varios conjuntos de puntos, y para las familias de conjuntos construir un camino, un conjunto es suma de sus elementos juntos (como objetos de mayor cardinalidad, construyendo algo así como simplexes de mayor cardinalidad pero dentro de objeto discreto). Obsérvese que para un espacio discreto dado ( como el grafo) se pueden considerar varios subgrafos inmersos en su interior, y preguntarse si son lo más densos posible o tienen agujeros ( paso lateral de los vértices del grafo existente, pero sin contenerlo). En este enfoque, podemos pensar en la geometría interna de los subgrafos de un grafo dado, relacionándolo con el grafo base como espacio completo, y los subgrafos como objetos que viven dentro, y que tienen varias características. Me gustaría pedirte información sobre si se ha hecho algo similar para entornos discretos, y desde el punto de vista combinatorio.