¿Qué es una trayectoria continua?

Question

Me gustaría que me ayudaran, porque me estoy volviendo loco intentando responder a lo siguiente

Pregunta: Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, ¿qué es un camino continuo en $X$ ?

Bueno, tal vez ya te estés poniendo nervioso pensando: es sólo una función continua $\gamma:[0,1]\rightarrow X$ . Esta definición funciona muy bien para las variedades y, más generalmente, para los espacios que contienen copias homeomórficas del intervalo $[0,1]$ pero se vuelve trivial e inútil en todos los demás casos, incluyendo algunos de gran interés: los grafos y, más generalmente, los espacios métricos localmente finitos en el mundo discreto, pero también los objetos no estándar como ${}^*\mathbb R$ .

En algún momento, me he dado cuenta de una cosa muy estúpida; a saber, que la laguna en la definición clásica de un camino continuo es que la noción de continuidad es impuesta desde el exterior tomando como unidad de medida el intervalo de unidades $[0,1]$ . Esto es bastante arbitrario, ¿no? Esta observación fue en cierto modo revolucionaria, al menos para mí: en ese momento, cerré los ojos, imaginé vivir en un espacio topológico e intenté captar una noción de continuidad desde dentro : una respuesta natural es que sonaría, a grandes rasgos, como: la continuidad es pasar de un punto a otro haciendo los pasos más cortos posibles...

Esta definición filosófica puede formalizarse para una clase bastante general de espacios métricos (que contienen, por ejemplo, todos los grafos conectados localmente finitos)

Ejemplo: Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico localmente finito. Dado $x\in X$ , denótese por $dN_1(x)$ la bola cerrada más pequeña sobre $x$ que contiene al menos dos puntos. Se puede definir una trayectoria continua en $X$ para ser una secuencia de puntos $x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}x_n$ tal que, para todo $i$ , $x_i\in dN_1(x_{i-1})$ y $x_{i-1}\in dN_1(x_i)$ . Siguiendo una idea similar, uno se siente tentado a definir la homotopía entre caminos y así sucesivamente.

Todo funciona inesperadamente bien como puede ver, si le interesa, en http://arxiv.org/abs/1111.0268 . Como ha señalado Tim Porter, Helene Barceló y sus coautores han desarrollado ideas similares.

Lo que me gustaría hacer ahora es abordar el problema de la definición de un teoría de la homología intrínseca que puede ser de interés para cualquier espacio topológico.

Subpregunta: ¿sabe si alguien ha intentado hacer algo similar?

En caso de respuesta negativa a la subpregunta, agradecería también cualquier ayuda para encontrar la respuesta a la primera pregunta. De hecho, estoy realmente satisfecho del caso localmente finito y me gustaría formalizar la definición filosófica: un camino continuo que conecta $x$ a $y$ es una forma de pasar de $x$ a $y$ haciendo los pasos más cortos posibles. Pero no tengo en absoluto claro cómo hacerlo formal para un espacio topológico general.

Gracias de antemano,

Valerio

Actualización: Por si alguien está interesado, algunas de estas ideas fueron finalmente aceptadas para su publicación en un artículo con Jacob White y Helene Barcelo en el Bull London Math Soc. http://arxiv.org/pdf/1306.3915.pdf

Answer 1

Me parece que lo que buscas es algo así como Cech (co)homología . La idea es que se puede detectar qué tipo de "caminos" hay en un espacio por la combinatoria de qué conjuntos en las cubiertas abiertas tienen intersecciones no triviales. Como ejemplo sencillo, se puede detectar que un círculo tiene un bucle no trivial cubriéndolo con 3 conjuntos abiertos $U$ , $V$ y $W$ , tal que dos de ellas se cruzan pero $U\cap V\cap W$ está vacía. Más precisamente, dada cualquier cubierta abierta, se puede construir un complejo simplicial que sea el "nervio" de la cubierta abierta y que tenga los "caminos" que "moralmente" debería tener un espacio con esa cubierta abierta. Por supuesto, no hay que esperar que una sola cubierta abierta capte toda la información que se intenta captar sobre un espacio, así que hay que tomar algún tipo de límite sobre todas las cubiertas abiertas de tu espacio. Tomar cubiertas abiertas cada vez más finas es como dar los "pasos más cortos posibles" a los que te refieres.

Como ejemplo de cómo esto puede dar lo que se busca, la cohomología de Cech no puede diferenciar entre un círculo ordinario y un bucle construido a partir de la curva del seno de un topólogo, o un círculo ordinario y un círculo obtenido pegando los dos extremos de una línea larga cerrada. No funcionará para cosas como los hiperreales, a menos que se restrinja a algún tipo de cubiertas abiertas internas, porque los hiperreales como espacio topológico están desconectados, y la cohomología de Cech detecta la conectividad topológica (pero no la conectividad de caminos en el sentido habitual). Y, por supuesto, si se trata de cosas como espacios métricos localmente finitos que son discretos como espacios, no hay esperanza de decir nada interesante a menos que se dote a los espacios de más estructura que una simple topología.

Como punto técnico, la cohomología de Cech se comporta bastante bien, pero si intentas hacer lo mismo con la homología te encuentras con problemas porque cuando tomas un límite sobre todas las coberturas abiertas acabas tomando un límite inverso de los grupos de homología, y tomar límites inversos no es exacto. Según nLab hay algo llamado homología fuerte que trata de remediar esto y al que quizás quieras echar un vistazo.

EDIT: Si quieres algo que pueda funcionar para espacios discretos con estructura adicional, ten en cuenta que puedes tomar el nervio de una cobertura específica, en lugar de tomar un límite sobre todas las coberturas. Por ejemplo, supongo que tu teoría de la homología de los espacios métricos localmente finitos es la misma que la homología de Cech de la cubierta formada por las bolas $dN_1(x)$ para todos $x$ . Para los espacios "agradables" se produce un fenómeno similar: el límite sobre todas las cubiertas coincide con lo que se obtiene de una sola cubierta que satisface alguna condición simple. Por ejemplo, para los complejos simpliciales, se puede tomar la cubierta que consiste en la estrella abierta de cada vértice, o para una variedad riemanniana, se puede tomar una cubierta que consiste en conjuntos geodésicamente convexos.

Answer 2

Eric, Tim y David han básicamente dado lo que creo que es la respuesta correcta, pero quiero mencionar las palabras "sitio" y "topos" que, sorprendentemente, aún no han aparecido en esta discusión, y dar algunas referencias más.

A sitio o topos es una generalización de un espacio topológico, construido sobre las nociones de parte y portada . (Un topos es el verdadero objeto; un sitio es una especie de "base" o "presentación" que genera un topos). A grandes rasgos, un topos tiene una colección de piezas con relaciones de contención entre ellas, y una noción de cuándo una parte es cubierto por alguna colección de partes contenidas en él. Esto es suficiente para las teorías de homología y homotopía del estilo de Cech, y la noción resultante de "camino" es, de hecho, el tipo de cosa que has descrito: cadenas de partes que se encuentran entre sí.

Todo espacio topológico da lugar a un topos cuyas partes son sus Abrir subconjuntos, donde las cubiertas son uniones. Esta es la forma canónica de incrustar espacios topológicos en topos. (Es una incrustación completa para la mayoría de los espacios topológicos.) Pero un espacio topológico también puede dar lugar a otros topos. Por ejemplo, se puede considerar el topos cuyas partes son los subtopos abiertos arbitrarios (no necesariamente) del topos anterior; este topos se llama "disolución" de un espacio. O bien, yendo en la otra dirección, se pueden tomar las partes abiertas pero permitir sólo buenas tapas .

Creo que esta es la forma adecuada de tratar la cuestión de la desconexión. Me parece que no se debe, esperar encontrar ningún "camino" en un objeto muy desconectado: por el hecho mismo de estar desconectado, no debería haber ningún camino para ir de aquí a allá. Si uno ve "caminos" en un espacio topológico desconectado, eso sugiere que hay algún dato distinto de la topología que define algún otro objeto en el que viven los caminos. Por ejemplo, tomando el ejemplo de Eric, los hiperreales dan lugar a un topos cuyas partes son los interno subconjuntos abiertos, y este topos será (creo) conectado.

Un par de documentos interesantes que tratan específicamente sobre los caminos en este contexto son:

• Kennison, ¿Qué es el grupo fundamental?
• Moerdijk y Wraith, Las topos conectadas localmente están conectadas por un camino .

Al igual que muchos otros trabajos en esta área, se restringen al caso localmente conectado, pero las ideas no requieren realmente esa restricción (las cosas se complican de otra manera).

Answer 3

Añadiendo a los comentarios de Alain Valette: ... De ahí mi sugerencia de la Teoría de la Forma Fuerte. La homotopía de Vietoris ofrece una forma de abordar la forma fuerte. De nuevo se menciona en el nLab. La homología de Vietoris sigue teniendo el problema de las secuencias no exactas. Se puede sustituir por la homología de Steenrod-Sitnikov o la teoría de la homología fuerte de Mardesic. (También hay una renovación del interés por los espacios topológicos finitos, véase el trabajo de Minian y Barmak. Una aplicación de ideas similares se produce a través del análisis de datos topológicos, véase el trabajo de Carlsson et al en Stamford. Este también utiliza un complejo de Rips, que probablemente conozca por sus intereses generales).

Mirando algunos de los otros comentarios y respuestas, puede ayudar a mirar algunas de las ideas de la teoría de homotopía de grafos que están alrededor. Éstas están relacionadas con el trabajo original de Dowker (1953) sobre la homología de una relación. (Puedo proporcionar más indicadores si crees que sería de ayuda).

(Edición: A continuación se describe una teoría relacionada: Perspectivas sobre la teoría de la A-homotopía y sus aplicaciones, Hélène Barcelo, Reinhard Laubenbacher, Discrete Mathematics 298 (2005) 39 - 61.)

Answer 4

La técnica/marco mencionado por Jim Conant y utilizado por Berestovskii y Plaut se remonta al documento

• J. Krasinkiewicz y P. Minc, Trayectorias generalizadas y 1movilidad puntiforme Fundamenta Mathematicae 104 (1979), 141-153, doi: 10.4064/fm-104-2-141-153 .

Para una actualización de este tema, véase Rips complejos y cubiertas en la categoría uniforme y la última sección en Homotopía de Steenrod (que incluye una prueba simplificada del resultado de Krasinkiewicz-Minc).

Editar: Estaba escribiendo esto con prisas para un avión, y no pude detallar a qué se refieren las referencias. Ahora que la forma fuerte (e incluso cosas relacionadas como la cohomología de Cech y la homología de Steenrod-Sitnikov) han sido mencionadas por otros, esto simplifica mi trabajo.

Lo que Krasinkiewicz y Minc hacían en ese trabajo es esencialmente caminos en el sentido de la forma fuerte. (No hablan explícitamente de "forma fuerte", pero por otro lado ocurre que los artículos y libros que originalmente desarrollaron la forma fuerte, incluyendo el de Tim Porter, y la mayor parte de la literatura posterior bajo la marca "forma fuerte" se ha centrado increíblemente en aspectos categóricos o de topología general y no se preocupó de perseguir ningún problema geométrico específico, así que si estás interesado en cualquier tipo de resultados sustanciales sobre caminos en el sentido de la forma fuerte, ¡tienes que buscarlos en otra parte!)

En el citado trabajo, Krasinkiewicz y Minc demostraron el siguiente maravilloso teorema: Si $X$ es un compacto conectado (metrizable) que está desconectado en el sentido de la forma fuerte (es decir, no todos los morfismos de forma fuerte de un punto a $X$ son iguales) entonces existen morfismos de forma fuerte distintos (de hecho, incontables) desde un punto hacia $X$ que están representados por auténticos puntos en $X$ . Esto puede parecer trivial o erróneo, pero no, es un resultado geométrico profundo.

Answer 5

En lugar de ir al lago (en realidad el tiempo no es tan bueno), he pasado toda la mañana del domingo en sus referencias. En primer lugar, muchas gracias a todos. Aquí quiero recoger algunos comentarios sobre la cohomología de Cech y el enfoque de Berestovskii y Plaut. Acabo de ver que Tim Porter y Alain Valette han sugerido mirar algo más. Mi tarde la dedicaré a esas referencias.

Cohomología de Cech: como observó incluso el propio Eric, la cohomología de Cech no funciona para espacios desconectados, así que mi primer pensamiento fue que la respuesta no servía. De hecho, ahora estoy seguro (bueno, vale, ¡soy demasiado joven para estar seguro de algo!) de que hay alguna homología/homotopía/cohomología/lo que sea-teoría completamente general e intrínseca que es de interés (=no trivial) para cualquier espacio topológico. Por eso no puedo aceptar la respuesta, pero doy +1 porque me gusta el punto de vista y creo que, al final, el mal comportamiento de la cohomología de Cech viene dado por el hecho de que utiliza Abrir cubiertas. La noción de conjunto abierto es demasiado Utilizado en exceso (¿existe esta palabra en inglés?) y a veces se necesita algo diferente (un ejemplo es el teorema de van Kampen). Por ejemplo, en un espacio métrico localmente finito todos los conjuntos son abiertos, por lo que está claro que son demasiados . Así que doy +1 porque quiero echar un vistazo más de cerca a la cohomología de Cech con el fin de entender es uno puede reemplazar las coberturas abiertas con algo que funciona mejor.

Berestovskii y Plaut: Al principio me asusté mucho, porque pensé que estaban haciendo lo mismo. Pero NO. Tengo que decir que no estoy de acuerdo con su planteamiento por las siguientes razones: además del problema (importante, pero en este caso, menor) de que la construcción depende del radio de la comitiva (por lo que no está claro qué ocurre cuando el radio llega a cero en un espacio métrico localmente finito, o cuál debería ser el radio correcto a elegir, etc.), creo que el problema es la definición de homotopía entre $\epsilon$ -cadenas. Recordemos su

Definición: Un $\epsilon$ -cadena es una secuencia finita $x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}x_n$ tal que $d(x_i,x_{i-1})<\varepsilon$ para todos $i$ . Dos $\epsilon$ -cadenas se denominan homotópicas equivalentes si se puede pasar de la primera a la segunda a través de una secuencia finita de operaciones de adición/cancelación de puntos de tal manera que cada paso intermedio sea un $\epsilon$ -cadena a partir de $x_0$ y terminando en $x_n$ .

Se obtiene un grupo y bla bla bla. La cuestión es que esta construcción no es interesante por ejemplo para grafos finitos (se obtiene el grupo libre habitual generado por el bordes faltantes de un árbol de expansión)

Lo que he propuesto en mi preprint es lo siguiente (Actualización: resulta que ya se han propuesto definiciones (muy) similares en el llamado $A$ -teoría (ver referencias en la respuesta de Tim Porter o en mi OT).

Definición: Dos caminos continuos (en el sentido de mi OT) $x_0x_1\ldots x_{n-1}x_n$ y $y_0y_1\ldots y_{n-1}y_n$ (puedo suponer que la longitud es igual añadiendo algún camino constante), con $x_0=x_n=y_0=y_n$ son equivalentes homotópicos si se pueden encontrar puntos $z_i^k$ tal que la siguiente matriz formal

$$ \left( \begin{array}{ccccc} x_0 & x_1 & \ldots & x_{n-1} & x_0 \\\ x_0 & z_1^2 & \ldots & z_{n-1}^2 & x_0 \\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\\ x_0 & z_1^{k-1} & \ldots & z_{n-1}^{k-1} & x_0 \\\ x_0 & y_1 & \ldots & y_{n-1} & x_0 \\\ \end{array} \right) $$

verifica la propiedad que cada fila y cada columna es un camino continuo.

Esta definición, que me parece más natural (a grandes rasgos, una deformación continua de un camino consiste en sustituir cada punto del camino por uno del punto más cercano), también funciona de forma increíble y no trivial. Por ejemplo, nosotros (mis dos colaboradores para la segunda obra, A. Gournay y T.Pillon, y yo) tenemos un ejemplo de un grafo con 28 vértices cuyo grupo fundamental es $\mathbb Z_2$ . Me gustaría incluirlo aquí (puede que te interese), pero no tengo ni idea de cómo incluir una cifra aquí.