¿Clasificación de los 3 manifolds cerrados con un primer grupo de homología finito?

Question

Estoy interesado en una clasificación topológica de los 3manifoldes cerrados conectados $M$ que tienen grupo de homología finito $H_1(M)$ .

Desde $H_1(M)$ es la abelización del grupo fundamental $\pi_1(M)$ cada 3manifiesto cerrado con grupo de homotopía finito tiene grupo de homología finito. Se sabe que cada 3-manifold cerrado con grupo de homotopía finito $\Gamma$ es un 3manifold esférico (es decir, es el espacio orbital $S^3/_\sim$ de la 3-esfera, dotada de una acción libre del grupo $\Gamma$ ).

Pregunta. ¿Es cada 3manifold cerrado con grupo de homología trivial un 3manifold esférico? Igualmente, ¿es el grupo fundamental $\pi_1(M)$ de un 3manifold cerrado finito si su primer grupo de homología $H_1(M)$ es finito?

Answer 1

La respuesta es no por los comentarios de Yves. Permítanme añadir que hay un montón de construcciones explícitas de 3--manifolds hiperbólicos cerrados con homología finita, y esto es un fenómeno genérico (por ejemplo los pegados aleatorios de Heegard tienen cero primer número de Betti y son hiperbólicos y los experimentos numéricos en los manifiestos de censo muestran una proporción abrumadora de manifiestos con cero primer número de Betti). Esto indica que no hay esperanza de obtener una clasificación.

Para varios resultados sobre las esferas de homología racional hiperbólica (construcciones probabilísticas, numéricas y explícitas de familias infinitas) véanse, por ejemplo, los trabajos de Nathan Dunfield y coautores:

• N. Dunfield, W. Thurston, La conjetura virtual de Haken: experimentos y ejemplos https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1988291
• J. Brock, N. Dunfield, Radios de inyectividad de 3 esferas hiperbólicas de homología entera https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3318758
• N. Dunfield, W. Thurston, Finite covers of random 3-manifolds https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2257389
• F. Calegari, N. Dunfield, Formas automórficas y homología racional 3-esferas https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2224458

Answer 2

Escoge cualquier nudo de la trisfera, y realiza cualquier Cirugía de Dehn en él con algún coeficiente $p/q \neq 0$ . Esto significa que se quita la vecindad tubular del nudo y se pega de una manera diferente, parametrizada por $p/q$ . El colector que se obtiene tiene $H_1(M,\mathbb Z) = \mathbb Z/_{p\mathbb Z}$ . De esta manera se obtienen muchos 3manifolds distintos. Por ejemplo, si el nudo es hiperbólico, se obtienen muchas variedades hiperbólicas cerradas si $p$ o $q$ es lo suficientemente grande. También se puede exigir que $p=1$ y encontrar muchas esferas de homología.