Covarianza de una gaussiana bivariante dada la matriz de identidad

Question

Tengo un problema de deberes sobre la búsqueda de una frontera de decisión óptima. Conozco la fórmula (no realmente el proceso) para calcularla, así que esa puede ser otra pregunta completamente, pero sí sé que necesito la media, la covarianza y los antecedentes. La pregunta se muestra a continuación

Suppose points in R^2 are being obtained from two classes, C1 and C2, both of which  
are well described by bivariate Gaussians with means at (0,0) and (1,3) and covariances 
I and 2I respectively. I is the (2x2) identity matrix. If the priors of C1 and C2 are 
0.4 and 0.6 respectively, what is the ideal (i.e. Bayes Optimal) decision boundary 
(derive the equation for this boundary)?

Estoy desconcertado cuando dice "covarianzas I y 2I... I es la matriz de identidad (2x2)".

¿Hay alguna forma de calcular un valor numérico para la covarianza a partir de esta información? Si es así, ¿cómo? Nunca lo he escuchado expresado de esta manera.

Answer 1

Acondicionado al ser de la clase C1, la observación $(X,Y)$ es un par de independiente $N(0,1)$ variables aleatorias, mientras que acondicionado al ser de la clase C2, la observación $(X,Y)$ consiste en independiente $N(1,2)$ y $N(3,2)$ variables aleatorias. ¿Cómo lo sabemos? Las variables aleatorias están se da que son (condicionalmente) independientes porque su matriz de covarianza es $I$ o $2I$ y así sabemos que $\text{cov}(X,Y) = I_{1,2} = 0$ en un caso, y $2I_{1,2} = 0$ en el otro caso. Como se ha discutido repetidamente en este stackexchange, las variables aleatorias normales no correlacionadas son variables aleatorias independientes.

Por lo tanto, puede anotar el condicional pdfs conjuntos $f_1(x,y)$ y $f_2(x,y)$ bajo las dos hipótesis como densidades normales bivariadas de variables aleatorias independientes. La frontera de decisión bayesiana es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ para lo cual $$0.4f_1(x,y) = 0.6f_2(x,y).$$