Encuentra el menor número entero primo positivo en cada uno de los siguientes.

Question

1. Encuentre el menor número entero positivo tal que $80-n$ y $80+n$ son números primos.
2. Encuentra el menor número primo positivo tal que $2002-n$ y $2002+n$ son números primos.

No se me ocurre otra forma que probar los números primos uno a uno, como probar desde $2, 3, 5, 7,\ldots...$ pero probablemente tardará una eternidad en caso de que la respuesta sea un número grande, ¿alguna pista por favor?

Gracias de antemano.

Answer 1

Para el primero.

1) $n$ no es de la forma $3k+1$ De lo contrario, $80+n$ es divisible por $3$ .

2) $n$ no es de la forma $3k+2$ De lo contrario, $80-n$ es divisible por $3$ .

3) Así que n es un múltiplo de $3$ .

4) $n$ no puede tener factores $2, 5$ . En particular $n$ es impar. Así que n es un múltiplo impar de $3$ que no es divisible por $5$ .

Examinar los múltiplos Impares (no divisibles por $5$ ) de $3$ es fácil. $n=9$ es la respuesta.

Answer 2

Para la pregunta 2, observe que la pregunta pide un número primo n, a diferencia de la pregunta 1. Se aplica el mismo razonamiento que en Fermat 's respuesta en términos de análisis mod 3:

$2002 \equiv 1 \bmod 3$ Por lo tanto

• para $n \equiv 1 \bmod 3,$ tenemos $2002-n \equiv 0 \bmod 3$ (sólo prima si $2002-n=3$ )
• para $n \equiv 2 \bmod 3,$ tenemos $ 2002+n \equiv 0 \bmod 3$ (nunca prime)
• para $n \equiv 0 \bmod 3,$ tenemos $ 2002\pm n \equiv 1 \bmod 3$ (sólo $n=3$ es primo)

Sólo es posible que tengamos primos para estos casos en los que $n=3$ o $2002-n=3$ . En cualquier caso, si $2002-3=1999$ no fuera primordial, definitivamente no habría soluciones - pero lo es. Así que podemos comprobar sólo los dos casos, $n=3$ y $n=1999$ . $2005$ no es un primo, pero $4001$ es, dando la única solución de $n=1999$ .