¿Se aplicaría la regla de L' Hospital al siguiente límite?

Question

¿Cómo podría demostrarlo?

$\lim_{p \to \infty} (|x_{1} - y_{1}|^{p} + |x_{2} - y_{2}|^{p})^{\frac{1}{p}} =$ max $\{|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|\}$

Estaba considerando la regla de los hospitales L', pero no estoy seguro de que eso me lleve a alguna parte.

Answer 1

L'Hospital no ayudará, creo, pero podrías usar el teorema del sándwich

Set $a:= x_1-y_1$ y $b:=x_2-y_2$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $\left|a\right|\ge |b|$ . Ahora $$\left|a\right| = \left(\left|a\right|^p\right)^{1/p} \leq \left(\left|a\right|^p+\left|b\right|^p\right)^{1/p} \leq \left(2\left|a\right|^p\right)^{1/p} =2^{1/p}\left|a\right|\stackrel{p\to\infty}{\longrightarrow} \left|a\right|$$

Así, $\left(\left|a\right|^p+\left|b\right|^p\right)^{1/p}$ tiende a $\left|a\right|$ también.