Base dual de un espacio vectorial bidimensional

Question

Se me plantea la siguiente pregunta.

Dejemos que $\left(V:F\right)$ sea un espacio vectorial bidimensional. $\beta = \{x_1, x_2\}$ es una base de $V$ y $\beta^* = \{\phi_1, \phi_2\}$ es la base dual de $V$ . Si $ \beta^{'} = \{x_1+2x_2\, 3x_1+4x_2\} $ es también una base de $V$ encontrar la base dual de esto en términos de $\phi_1$ y $\phi_2$ .

¿Qué sugiere para esta pregunta?

Answer 1

Véase mi comentario anterior: $\beta^*$ es una base para el espacio dual $V^*$ no $V$ . Con esto en mente: escriba $\gamma = \{ x_1 + 2x_2,3x_1 + 4x_2 \}$ para la segunda base (de $V$ ), puesto que ya ha utilizado $\beta$ . Escriba $\gamma^* = \{ \psi_1,\psi_2 \}$ en términos de $\beta^*$ como en $\psi_1 = a_1 \phi_1 + a_2 \phi_2, \ \psi_2 = b_1 \phi_1 + b_2 \phi_2$ . A continuación, utilice la definición de "base dual" para ver que realmente necesita resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{align*} a_1 + 2a_2 &= 1, \\ 3a_1 + 4a_2 &= 0, \\ b_1 + 2b_2 &= 0, \\ 3b_1 + 4b_2 &= 1. \end{align*}$$

Answer 2

Nota: Esto es esencialmente lo mismo que la respuesta de Justin, sólo que ampliada y explicada con más detalles. Reconocerás que mis ecuaciones finales son las mismas que las de Justin, después de un adecuado cambio de nombre de las variables.

La doble base para $\beta'$ consiste en los funcionales $\mathbf{f}_1$ y $\mathbf{f}_2$ tal que $\mathbf{f}_1(x_1+2x_2) = 1$ y $\mathbf{f}_1(3x_1+4x_2) = 0$ y $\mathbf{f}_2(x_1+2x_2) = 0$ y $\mathbf{f}_2(3x_1+4x_2) = 1$ .

Usted ya tiene los funcionales $\phi_1$ y $\phi_2$ satisfaciendo $\phi_i(x_j) = \delta_{ij}$ (delta de Kronecker). Y sabes que puedes escribir $\mathbf{f}_1$ y $\mathbf{f}_2$ en términos de $\phi_1$ y $\phi_2$ (porque estos últimos forman una base). Así que ya sabes que puedes encontrar escalares $\alpha_1,\beta_1$ , $\alpha_2,\beta_2$ tal que $$\begin{align*} \mathbf{f}_1 &= \alpha_1\phi_1 + \beta_1\phi_2\\ \mathbf{f}_2 &= \alpha_2\phi_1 + \beta_2\phi_2. \end{align*}$$ ¿Cuál es el valor de $\alpha_1\phi_1+\beta_1\phi_2$ en $3x_1+4x_2$ ? Bueno, $$\begin{align*} (\alpha_1\phi_1+\beta_1\phi_2)(3x_1+4x_2) &= \alpha_1\phi_1(3x_1+4x_2) + \beta_1\phi_2(3x_1+4x_2)\\ &= \alpha_1\Bigl( 3\phi_1(x_1) + 4\phi_1(x_2)\Bigr) + \beta_1\Bigl(3\phi_2(x_1) + 4\phi_2(x_2)\Bigr)\\ &= \alpha_1\Bigl(3(1) + 4(0)\Bigr) + \beta_1\Bigl( 3(0) + 4(1)\Bigr)\\ &= 3\alpha_1 + 4\beta_1. \end{align*}$$ De la misma manera, $$\begin{align*} (\alpha_2\phi_1 + \beta_2\phi_2)(3x_1+4x_2) &=3\alpha_2 + 4\beta_2\\ (\alpha_1\phi_1+\beta_1\phi_2)(x_1+2x_2) &= \alpha_1+2\beta_1\\ (\alpha_2\phi_1+\beta_2\phi_2)(x_1+2x_2) &= \alpha_2+2\beta_2. \end{align*}$$ Pero usted sabe qué valores quiere lo que quieras: $$\begin{align*} 1 = \mathbf{f}_1(x_1+2x_2) &= (\alpha_1\phi_1 + \beta_1\phi_2)(x_1+2x_2)\\ &= \alpha_1 + 2\beta_1;\\ 0 = \mathbf{f}_1(3x_1+4x_2) &= (\alpha_1\phi_1 + \beta_1\phi_2)(3x_1+4x_2)\\ &= 3\alpha_1 + 4\beta_1;\\ 0 = \mathbf{f}_2(x_1+2x_2) &= (\alpha_2\phi_1 + \beta_2\phi_2)(x_1+2x_2)\\ &= \alpha_2 + 2\beta_2;\\ 1 = \mathbf{f}_2(3x_1+4x_2) &= (\alpha_2\phi_1+\beta_2\phi_2)(3x_1+4x_2)\\ &= 3\alpha_2 + 4\beta_2. \end{align*}$$ Así que ahora tienes un sistema de cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas: $$\begin{array}{rcccccccl} \alpha_1 & + & 2\beta_1 & & & & &=& 1\\ 3\alpha_1 & + & 4\beta_1 && & & & = &0\\ & & & & \alpha_2 & + & 2\beta_2 &=& 0\\ & & & & 3\alpha_2 &+& 4\beta_2 &=& 1. \end{array}$$ Al resolverlo se obtienen los coeficientes que expresan la base dual de $\beta'$ en términos de $\phi_1$ y $\phi_2$ .