¿Existe un número transfinito negativo?

Question

Entonces, si cuento el conjunto de enteros negativos y luego cuento más allá de ellos, ¿ese "próximo" número sería omega negativo (-)? Sin embargo, no habría aleph-null negativo, ¿verdad? ¿Como si el tamaño del conjunto de enteros negativos siguiera siendo aleph-null positivo?

¿Se ha publicado alguna literatura sobre los números transfinitos negativos o no existen en absoluto?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Los ordinales son en realidad tipos de órdenes específicos. En este contexto solemos denotar $\alpha^*$ como el tipo de orden inverso de $\alpha$ . Así que $\omega^*$ es el tipo de orden de los enteros negativos.

Sí, el concepto es sólido, pero la cuestión es qué queremos hacer con él.

Su uso de "negativo" sugiere de alguna manera que esto debe ser incorporado a la aritmética ordinal, que de nuevo es una parte menor de la "aritmética de orden", pero esto es ciertamente no lo que se esperaría de una adición normal. Por ejemplo $\omega+\omega^*$ no es $0$ sino el tipo de orden de tener los enteros positivos y después de ellos los enteros negativos, concretamente esto sería $\{\frac1k\mid k\in\Bbb Z\setminus\{0\}\}$ como un conjunto de números reales.

Por si fuera poco, incluso si se quiere pensar en los ordinales negativos como objetos formales utilizados para restar un ordinal de otro, hay que hablar del par que se resta, no sólo del ordinal. Por ejemplo, $\omega-1$ sería el tipo de orden de $\omega\setminus 1$ que de nuevo es $\omega$ y así $\omega+1-1$ también es $\omega+1$ ya que restamos un segmento inicial y no un segmento final (de lo contrario $\omega-1$ no está definido).

Y por eso en los comentarios se mencionan las cifras surrealistas. Estos números forman un campo, y los ordinales se incrustan en ellos (y juegan el mismo papel que los enteros en los números reales como una especie de "columna vertebral"). Pero ahora, como los números surreales forman un campo, cada ordinal tiene un inverso (tanto aditivo como multiplicativo (con la excepción de $0$ en este último)), y estos se comportarían de forma ligeramente más cercana a lo que cabría esperar. Pero hay que tener en cuenta que la aritmética ordinal y los números surrealistas son generalmente incompatibles.