¿Cuándo hemos perdido un cuerpo matemático porque se han encontrado errores?

Question

La historia de las matemáticas de los últimos 200 años cuenta con muchas ocasiones en las que se ha demostrado que los supuestos fundamentales de un área son erróneos, o incluso equivocados. Sin embargo, no se me ocurre ningún ejemplo en el que, como resultado, haya que desechar las propias matemáticas. Los viejos resultados pueden necesitar una o dos nuevas suposiciones. Ciertamente, los supuestos reescritos permiten a menudo nuevos y maravillosos resultados, pero ¿hemos perdido realmente algo?

Quiero descartar el caso de que un área haya perdido importancia por el desarrollo de diferentes técnicas. En ese caso, los resultados siguen siendo válidos, pero ya no son tan interesantes.

Escribí una versión más larga de esta pregunta con una mirada a un poco de la historia: http://maxwelldemon.com/2012/05/09/have-we-ever-lost-mathematics/

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Mi pensamiento se refería a los resultados que han sido socavados desde abajo. El ejemplo de @J.J Green en los comentarios de la geometría algebraica italiana parece el mejor ejemplo que he visto. La trisección y los resultados individualmente erróneos no parecen crecer en áreas, pero ciertamente encontraría interesante cualquier ejemplo en el que un resultado erróneo hubiera construido una pequeña industria antes de que se descubriera que era erróneo. Me fascinan las matemáticas que se han pasado por alto y se han redescubierto (antiguas y modernas), pero eso es quizá una cuestión diferente.

Answer 1

Hilbert's $16^{\rm th}$ problema.

En 1923 Dulac "demostró" que todo campo vectorial polinómico en el plano tiene un número finito de ciclos [D]. En 1955-57 Petrovskii y Landis "dieron" límites para el número de tales ciclos dependiendo sólo del grado del polinomio [PL1], [PL2].

Viniendo de Hilbert, y siendo tan central para los desarrollos de los Sistemas Dinámicos, este trabajo ciertamente "construyó una pequeña industria". Sin embargo, Novikov e Ilyashenko refutaron [PL1] en los años 60, y más tarde, en 1982, Ilyashenko encontró una grave laguna en [D]. Así, después de 60 años, el estado de la técnica en esa área volvió casi a cero (excepto, claro, que ahora la gente tenía nuevas herramientas y conjeturas, ¡y una mejor comprensión del problema!)

Ver Historia del centenario del 16º problema de Hilbert (las citas anteriores proceden de allí) que ofrece una excelente visión general del problema, su historia y lo que se sabe actualmente. En particular, el diagrama de la página 303 resume muy bien la altibajos descrito anteriormente, y es un buen candidato para un gran figura matemática .

Answer 2

Una vez me hablaron de un trabajo en álgebra homológica en el que se introducía una nueva clase de funtores, generalizando Ext y Tor. Durante algunos años se estudiaron y se demostraron varias propiedades. Finalmente alguien consiguió dar una descripción completa de toda la clase. Consistía en dos elementos, Ext y Tor. (Lo siento, no tengo más detalles).

Answer 3

Volumen II de la obra de Frege Leyes básicas de la aritmética (Leyes básicas de la aritmética) ya había sido enviado a la prensa cuando Bertrand Russell le informó de que lo que ahora llamamos "la paradoja de Russell" podía derivarse de una de sus leyes básicas. No sé hasta qué punto el trabajo de Frege era conocido y aceptado públicamente (el volumen I se publicó 10 años antes que el volumen II), pero este parece un caso claro en el que un cuerpo importante de trabajo fue socavado "desde abajo", para usar las palabras del OP.

Al enterarse de la observación de Russell, Frege se apresuró a redactar un apéndice al volumen II, en el que escribe: "Difícilmente puede ocurrirle algo más desafortunado a un escritor científico que el hecho de que uno de los cimientos de su edificio se tambalee una vez terminada la obra. Esta fue la situación en la que me colocó una carta del Sr. Bertrand Russell, justo cuando la impresión de este volumen estaba a punto de terminar". (Esta traducción aparece en el Artículo de Wikipedia .)

Answer 4

Existen "Conferencias sobre matemáticas perdidas" de B. Grünbaum. Fueron impartidas en la Universidad de Washington en 1975. Las notas están disponibles aquí

Answer 5

Creo que la respuesta es obviamente "sí", y de hecho gran parte de las matemáticas del siglo XIX se perdieron, en un sentido serio, durante gran parte del siglo XX. Hace poco me llamó la atención descubrir que Henry Fox Talbot, el pionero de la fotografía, había escrito sobre lo que es claramente el área alrededor del teorema de Abel para las curvas, y que probablemente hace mucho tiempo que nadie reconstruyó lo que hacía. También que el trabajo principal de George Boole, en lo que respecta a sus contemporáneos, se perdió de vista en un par de décadas.

El hecho es que las matemáticas ahora son (a) axiomáticas y (b) dominadas por un canon. Me recuerda a la pesadilla de Bertrand Russell, cuando, un siglo después de su muerte, el último ejemplar del Russell-Whitehead Principia Mathematica corre el riesgo de ser expulsado por un bibliotecario ignorante. En realidad, no es obvio que incluso una obra tan pionera entre en el "canon" de la lógica matemática en torno a desarrollos posteriores. (¡Escucho protestas!) Tal vez valga la pena señalar el interés de Hilbert en Geometría descriptiva En otras palabras, geometría no axiomática e intuitiva. Y el canon debería ser "poroso", como han argumentado algunos de la escuela de Moscú. Parece bastante esclarecedor para las matemáticas como tradición viva que la simple acumulación de "resultados conocidos" sea engañosa.