Se necesita ayuda en la tarea que implica estructuras y modelos

Question

La tarea es la siguiente:
Dejemos que $\Sigma$ sea un conjunto de fórmulas cerradas tal que para cualquier fórmula cerrada $\phi$ , ya sea $\Sigma\models\phi$ o $\Sigma \models \neg\phi$ .
Ahora dejemos que la estructura $A$ sea un modelo del conjunto $\Sigma$ . Demuestre que para cualquier fórmula cerrada $\psi$ ,

$$A\models \psi \iff \Sigma \models \psi $$

(Fórmula cerrada significa aquí una fórmula tal que sus variables están ligadas con el cuantificador)

Sé que desde la estructura $A$ es un modelo de $\Sigma=\{\phi_1,\phi_2\dots\}$ se deduce que $\Sigma\models\psi$ ya que todas las fórmulas comparten el mismo modelo. No estoy seguro de que esto sea lo suficientemente correcto o formal.

Tampoco sé cómo probarlo en la otra dirección.

¿Algún consejo?

Answer 1

Para la primera parte, tenemos que utilizar la definición de $Σ \vDash \psi$ :

$\text { for every structure } A, \text { if } A \vDash \phi_i, \text { for every } \phi_i \in \Sigma, \text { then } A \vDash \psi$ .

Así, tenemos que $\Sigma \vDash \psi$ implica $A \vDash \psi$ para una estructura $A$ que es un modelo de $\Sigma$ .

Para la otra parte: suponga $Σ \nvDash \psi$ .

Esto significa que $Σ⊨¬ψ$ por propiedad de $Σ$ y esto implica que en cada estructura $A$ que es un modelo de $Σ$ lo tenemos: $A⊨¬ψ$ , contradiciendo el hecho de que $A \vDash \psi$ .