Intentar demostrar que una ecuación en dos variables implica que las variables son las mismas

Question

Dejemos que $a ,b$ sean números enteros no nulos tales que $\frac{a^2 + \sqrt{2}}{a} = \frac{b^2 + \sqrt{2}}{b}$ . Demostrar que $a=b$ .

Mi prueba:

1. Supongamos que $a \neq b$ . Entonces, $a - b \neq 0$ lo que implica que se puede dividir por $a-b$ .
2. La expresión dada se simplifica así

$$ a^2b +b\sqrt2=ab^2+a\sqrt2 \\ ab(a-b) = \sqrt2(a-b) \\ ab = \sqrt2 $$

En este tercer paso, hemos dividido por $a-b$ .

3. La conclusión $ab = \sqrt2$ es absurdo. El producto de dos enteros no nulos no puede ser $\sqrt2$ .

$\implies$ la suposición inicial es falsa. $a = b \text{ QED.}$

Creo que algo está mal en mi prueba.

1. ¿He tenido en cuenta durante el supuesto que $a$ y $b$ ¿son números enteros?

Answer 1

De hecho, como se indica en los comentarios, usted utilizó el hecho de que $a, b$ son enteros en su prueba, ya que el producto de dos enteros no puede ser igual a $\sqrt{2}$ .

Para ilustrarlo, observe que si $a = \sqrt{2}$ y $b = 1$ la igualdad debería cumplirse, y de hecho se cumple, ya que $$\frac{(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2} = \frac{1^2 + \sqrt{2}}{1}.$$ Así que si la condición que $a, b$ son enteros se relaja, es posible que $a \ne b$ .

Answer 2

Gran trabajo. Aquí hay un enfoque más calculado.

Dejemos que $f(x) = x + \frac{\sqrt2}{x}$ que es una función impar, es positiva cuando $x$ es positivo y negativo cuando $x$ es negativo.

$f'(x) =1-\frac{\sqrt2}{x^2}$ aumenta en $(\sqrt{2}, \infty)$ .

Sólo tenemos que comprobar que $f(1) \le f(\sqrt{2})$ lo cual es cierto ya que $f(1)=f(\sqrt2)=1+\sqrt2$