¿Cuál es el símbolo de un operador diferencial?

Question

Encuentro La discusión de Wikipedia de los símbolos de los operadores diferenciales un poco impenetrable, y en Google no parecen aparecer enlaces útiles, así que espero que alguien pueda indicarme una discusión más pedante.

Antecedentes

Creo que entiendo la idea básica sobre $\mathbb{R}^n$ Así que para los lectores que saben tan poco como yo, les daré algunas ideas. Cualquier operador diferencial en $\mathbb{R}^n$ es (únicamente) de la forma $\sum p_{i_1,\dotsc,i_k}(x)\frac{\partial^k}{\partial x_{i_1}\dots\partial x_{i_k}}$ , donde $x_1,\dotsc,x_n$ son las funciones de coordenadas canónicas en $\mathbb{R}^n$ El $p_{i_1,\dotsc,i_k}(x)$ son funciones suaves, y la suma abarca un número finito de índices posibles (de longitud variable). Entonces la símbolo de dicho operador es $\sum p_{i_1,\dotsc,i_k}(x)\xi^{i_1}\dotso\xi^{i_k}$ , donde $\xi^1,\dotsc,\xi^n$ son nuevas variables; el símbolo es un polinomio en las variables $\{\xi^1,\dotsc,\xi^n\}$ con coeficientes en el álgebra de funciones suaves sobre $\mathbb{R}^n$ .

Bien, genial. Así que los símbolos están bien definidos para $\mathbb{R}^n$ . Pero la mayoría de los espacios no son $\mathbb{R}^n$ - la mayoría de los espacios se forman pegando copias de (conjuntos abiertos en) $\mathbb{R}^n$ a lo largo de mapas suaves. ¿Qué ocurre con los símbolos cuando cambian las coordenadas? Un cambio afín de coordenadas es un mapa $y_j(x)=a_j+\sum_jY_j^ix_i$ para algún vector $(a_1,\dotsc,a_n)$ y alguna matriz invertible $Y$ . Es sencillo describir cómo cambian los operadores diferenciales bajo dicha transformación y, por tanto, cómo se transforman sus símbolos. De hecho, se puede olvidar el hecho de que los índices oscilan $1,\dotsc,n$ y pensar en ellos como si llevaran la cuenta de la contracción tensorial; entonces todo se transforma como tensores bajo cambios de coordenadas afines, por ejemplo, las variables $\xi^i$ se transforman como coordenadas en el haz cotangente.

Por otro lado, consideremos el operador $D = \frac{\partial^2}{\partial x^2}$ en $\mathbb{R}$ con el símbolo $\xi^2$ y considerar el cambio de coordenadas $y = f(x)$ . Por la regla de la cadena, el operador $D$ se transforma en $(f'(y))^2\frac{\partial^2}{\partial y^2} + f''(y) \frac{\partial}{\partial y}$ con el símbolo $(f'(y))^2\psi^2 + f''(y)\psi$ . En particular, el símbolo no se transformó como una función en el espacio cotangente. Es decir, que no entiendo dónde vive el símbolo de un operador diferencial de forma libre de coordenadas.

Por qué me importa

Una de las razones por las que me importa es porque me interesa la mecánica cuántica. Si el símbolo de un operador diferencial en un espacio $X$ fueran canónicamente una función sobre el espacio cotangente $T^\ast X$ entonces la inversa de este mapa de Símbolos determinaría una "cuantización" de las funciones sobre $T^\ast X$ correspondiente a la cuantización QP de $\mathbb{R}^n$ .

Pero la razón principal por la que estaba pensando en esto es por las álgebras de Lie. Me gustaría entender la siguiente demostración del teorema de PBW:

Dejemos que $L$ sea un álgebra de Lie sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , $G$ un grupo que integra el álgebra de Lie, $\mathrm{U}L$ el álgebra universal envolvente de $L$ y $\mathrm{S}L$ el álgebra simétrica del espacio vectorial $L$ . Entonces $\mathrm{U}L$ es naturalmente el espacio de los operadores diferenciales invariantes a la izquierda en $G$ y $\mathrm{S}L$ es naturalmente el espacio de símbolos de los operadores diferenciales invariantes a la izquierda en $G$ . Así, el mapa Symbol define un isomorfismo canónico del espacio vectorial (y de hecho del álgebra) $\mathrm{U}L\to\mathrm{S}L$ .

Answer 1

El símbolo principal de un operador diferencial $\sum_{|\alpha| \leq m} a_\alpha(x) \partial_x^\alpha$ es por definición la función $\sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x) (i\xi)^\alpha$ Aquí $\alpha$ es un índice múltiple (así que $\partial_x^\alpha$ denota $\alpha_1$ derivados con respecto a $x_1$ etc.) En este punto, el vector $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ es una mera variable formal. El poder de esta definición es que si uno interpreta $(x,\xi)$ como variables en el paquete cotangente de la forma habitual, es decir $x$ es cualquier gráfico de coordenadas locales, entonces $\xi$ es la coordenada lineal en cada espacio tangente utilizando la base $dx^1, \ldots, dx^n$ , entonces el símbolo principal es una función definida invariablemente en $T^*X$ , donde $X$ es la variedad en la que se define inicialmente el operador, que es homogénea de grado $m$ en las variables cotangentes.

Esta es una forma más invariable de definirlo: fix $(x_0,\xi_0)$ para ser cualquier punto en $T^*X$ y elegir una función $\phi(x)$ para que $d\phi(x_0) = \xi_0$ . Si $L$ es el operador diferencial, entonces $L( e^{i\lambda \phi})$ es una complicada suma de derivadas de $\phi$ multiplicados entre sí, pero siempre con un factor común de $e^{i\lambda \phi}$ . La `parte superior de la orden' es la que tiene un $\lambda^m$ y si tomamos sólo ésta, entonces su coeficiente tiene sólo primeras derivadas de $\phi$ (potencias de orden inferior de $\lambda$ puede multiplicarse por las derivadas superiores de $\phi$ ). Por lo tanto, si tomamos el límite como $\lambda \to \infty$ de $\lambda^{-m} L( e^{i\lambda \phi})$ y evaluar en $x = x_0$ obtenemos algo que resulta ser exactamente el símbolo principal de $L$ en el punto $(x_0, \xi_0)$ .

Hay muchas razones por las que el símbolo principal es útil. En efecto, existe un "mapa de cuantificación que lleva un símbolo principal a cualquier operador del orden correcto que lo tenga como símbolo principal. No está bien definido, pero lo está si se modela por operadores de un orden inferior. De ahí el comentario en una respuesta anterior sobre que se trata de un isomorfismo entre álgebras filtradas.

En situaciones especiales, por ejemplo, en una variedad riemanniana en la que se han preferido las coordenadas (coordenadas normales de Riemann), se puede definir un símbolo total de forma invariante (aunque dependiendo de la métrica). También hay otras formas de tomar el símbolo, por ejemplo, la correspondiente a la cuantización de Weyl, pero esa es otra historia.

En el análisis microlocal, el símbolo capta algunas propiedades muy fuertes del operador $L$ . Por ejemplo, $L$ se llama elíptica si y sólo si el símbolo es invertible (siempre que $\xi \neq 0$ ). Incluso podemos hablar de que el operador es elíptico en ciertas direcciones si el símbolo principal es no evanescente en un cono abierto (en el $\xi$ variables) sobre esas direcciones. Otra historia interesante es la propagación de ondas: el conjunto característico del operador es el conjunto de $(x,\xi)$ donde el símbolo principal $p(L)$ se desvanece. Si su diferencial (como función sobre el haz cotangente) es no evanescente allí, entonces las curvas integrales del flujo hamiltoniano asociado a $p(L)$ es decir, para el campo vectorial hamiltoniano determinado por $p(L)$ utilizando la estructura simpléctica estándar en $T^*X$ , ``lleva'' las singularidades de las soluciones de $Lu = 0$ . Esta es la generalización del hecho clásico de que las singularidades de las soluciones de la ecuación de onda se propagan a lo largo de los rayos de luz.

Answer 2

Una forma de entender el símbolo de un operador diferencial (o, más generalmente, de un operador pseudodiferencial) es ver lo que el operador hace a los "paquetes de ondas", funciones que están fuertemente localizadas tanto en el espacio como en la frecuencia.

Supongamos, por ejemplo, que uno trabaja en $\mathbb R^n$ y se toma una función $\psi$ que se localiza en una pequeña vecindad de un punto $x_0$ y cuya transformada de Fourier está localizada en una pequeña vecindad de $\xi_0/\hbar$ para una cierta frecuencia $\xi_0$ (o más geométricamente, piense en $(x_0,\xi_0)$ como elemento del haz cotangente de $\mathbb R^n$ ). Estas funciones existen cuando $\hbar$ es pequeño, por ejemplo $\psi(x) = \eta( (x-x_0)/\epsilon ) e^{i \xi_0 \cdot (x-x_0) / \hbar}$ para un corte suave $\eta$ y algunos pequeños $\epsilon$ (pero no tan pequeño como $\hbar$ ).

Ahora aplica un operador diferencial $L$ de grado $d$ a este paquete de ondas. Al hacerlo (utilizando la regla de la cadena y la regla del producto según corresponda), se obtiene un conjunto de términos con diferentes potencias de $1/\hbar$ que se les atribuye, siendo el término de orden superior $1/\hbar^d$ por alguna cantidad $a(x_0,\xi_0)$ veces el paquete de ondas original. Este número $a(x_0,\xi_0)$ es el símbolo principal de $a$ en $(x_0,\xi_0)$ . (Los términos de orden inferior están relacionados con los componentes de orden inferior del símbolo, pero la relación precisa es espinosa).

Básicamente, cuando se ve en una base de paquetes de ondas, los operadores (pseudo)diferenciales son diagonales de orden superior. (Los coeficientes diagonales son esencialmente el símbolo principal del operador. [Mientras que en este tema: Los operadores integrales de Fourier (FIO) son esencialmente matrices diagonales veces matrices de permutación en la base del paquete de ondas, por lo que tienen un símbolo así como una relación (la relación canónica del FIO, que resulta ser un submanifold lagrangiano del espacio de fase)].

Se pueden construir paquetes de ondas en variedades lisas arbitrarias, básicamente porque parecen planas a escalas pequeñas, y se puede definir el producto interior $\xi_0\cdot(x-x_0)$ invariablemente (hasta correcciones de orden inferior) en el límite asintótico cuando $x$ está cerca de $x_0$ y $(x_0,\xi_0)$ está en el haz cotangente. Esto da una forma de definir el símbolo principal en las variedades, que por supuesto coincide con la definición estándar.

Answer 3

Creo que has entendido mal la definición de "símbolo". Sólo debes tomar el término de mayor orden en los campos vectoriales. Entonces el símbolo está bien definido. ( EDITAR : bueno, supongo que debería haber leído primero la Wikipedia. Me mantengo en mi afirmación de que el mapa de símbolos uno debe considerar es el de orden principal).

Más concretamente, el mapa de símbolos no es de operadores diferenciales a funciones sobre el haz cotangente, es del gradiente asociado de operadores diferenciales para la filtración de orden a funciones sobre el haz cotangente. Así que, en operadores de orden menor que n, puedes hacer la operación que has descrito al término de mayor orden, y obtienes algo independiente de las coordenadas.

Answer 4

Los apuntes del curso del módulo D de Dragan Milicic contienen una construcción detallada del mapa de símbolos -- se pueden encontrar en su página web www.math.utah.edu/~milicic. Puede haber varias versiones enlazadas allí -- el curso de 2007-2008 debería ser el más completo. Empieza a leer en el capítulo 1, sección 5. Esto va a través de la construcción de la filtración Ben menciona, a continuación, construye el módulo graduado y el mapa de símbolos explícitamente. Por supuesto, esta sección sólo cubre el caso afín (complejo) que ya describe. La generalización sin coordenadas para, digamos, variedades lisas cuasi-proyectivas sobre los números complejos se hace en el capítulo 2, sección 3. Básicamente, se observa el haz de operadores diferenciales en la variedad, se construye una filtración de grado de ese haz, y el correspondiente haz graduado es isomorfo a la imagen directa del haz de funciones regulares en el haz cotangente a través del mapa de símbolos.

En el caso de que G en tu pregunta sea un grupo algebraico, la gavilla de operadores diferenciales en G se forma localizando UL, y el pushforward de funciones regulares en el haz cotangente es la localización de SL. Entonces UL y SL pueden recuperarse tirando de estos gajos de vuelta al elemento de identidad en G. No creo que el isomorfismo de la forma en que lo has planteado sea cierto tal cual. Creo que el contenido de cualquier afirmación en este sentido (en lo que respecta a la demostración del teorema de PBW) probablemente tiene que ver con la construcción de la filtración por grado superior que está bien definida.

Answer 5

El autor de la pregunta original ya lo sabe, pero cualquier otra persona que esté interesada en esta cuestión debería consultar el conversación en el blog de John Baez.