Teorema de rango constante dimensional infinito

Question

Suponga que tiene un mapa analítico $\phi : E \rightarrow \mathbb{C}^n$, donde $E$ es un espacio complejo de Banach, y tal que el rango de $D \phi$ es constante. Es cierto que el conjunto de $\phi^{-1}(\{0\})$ es una subvariedad de Banach de $E$ (con finito codimension y espacio tangente igual a $\ker D \phi$?)

Me imagino que las cantidades de pregunta a utilizar una versión infinita del teorema de rango constante, pero no pude encontrar una referencia para él.

Gracias de antemano!

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial a la pregunta:

1. No es en Lang del libro.

2. Si usted sigue el estándar (de) la prueba de la constante de rango teorema (CRT), a continuación, pasa a través del infinito-dimensional de configuración, siempre que las siguientes hipótesis se cumple: $$ K_x=Ker(D\phi(x)), x\in E, $$ varía suavemente con respecto a $x$. Esto significa que existe un suave mapa $$ h: E\a Gr^k(E), h(x)=K_x. $$ Aquí $Gr^k(E)$ es el Grassmannian de Banach subespacios de $E$ que se han fijado las codimension $k$ ($k=n-r$ es el corank de $D\phi(x)$, la cual es constante y por supuesto: desde el rango de $r$ de la derivada se supone constante).

3. Sospecho (pero que no tienen un ejemplo) que el CRT falla incluso para espacios de Hilbert $E$ sin el extra de asunción, explicó en 2.