¿Por qué la función Gamma completa la función Zeta de Riemann?

Question

Definición de $$\xi(s) := \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)$$ rinde $\xi(s) = \xi(1 - s)$ (donde $\zeta$ es la función Zeta de Riemann).

¿Existe alguna explicación conceptual -o intuición, aunque no se pueda convertir en una prueba- para esto? ¿Por qué, entre todas las funciones, hay que poner la función Gamma?

Quien hizo esto primero probablemente tenía alguna razón para probar la función Gamma. ¿Qué fue?

(En el mejor de los casos) ¿Existe alguna manera uniforme de producir un factor a partir de una norma sobre los racionales que produzca los otros factores para las normas p-ádicas y el factor Gamma para el valor absoluto?

Answer 1

A mi entender, la respuesta es sí, y esta forma uniforme consiste en una cierta integración sobre el campo local. Esto se explica en la disertación de John Tate. Se parte de una cierta función suave y rápidamente decreciente, para la que se toma la función característica de los enteros p-ádicos en el caso no arquimédico y la función $e^{-|x|^2}$ para un campo arquimédico. Esto se multiplica con $|x|^s$ (aproximadamente) e integrado sobre la medida de Haar del grupo aditivo del campo. Esto produce el $\Gamma$ -para un campo arquimédico y $(1-p^{-s})^{-1}$ para un campo p-ádico.

Answer 2

Una forma de empezar es observar la integral de la función gamma: $$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t}\,dt$$ Sustituto $t=nx$ en la integral para llegar a $$\frac{\Gamma(s)}{n^s} = \int_0^\infty e^{-nx}x^{s-1}\,dx$$ que luego sumamos para obtener $$\Gamma(s)\zeta(s)=\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx$$ que ya muestra que hay algunos conexión entre las funciones gamma y zeta, y de hecho nos permite extender la definición de la función zeta a la franja crítica.

Lo que viene a continuación es lejos menos evidente, pero la idea es introducir un corte de rama para $x^{s-1}$ a lo largo del eje real positivo, y sustituir la integral anterior por una que vaya desde $+\infty$ a lo largo de la parte inferior del eje real positivo, alrededor del origen, y de vuelta a $+\infty$ a lo largo de la parte superior del eje real. Esto introduce un factor adicional $1-e^{2\pi i s}$ . Ahora empezamos a expandir el círculo alrededor del origen, teniendo en cuenta los polos del integrando a lo largo del eje imaginario, y terminamos con $$\Gamma(s)\zeta(s)=(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\tfrac12\pi s)\zeta(1-s).$$ A partir de ahí, todavía queda algo de limpieza. Como he dicho, esto no es terriblemente intuitivo, así que no responde a tu pregunta, pero el primer párrafo debería darte al menos una noción de cómo se interrelacionan las funciones gamma y zeta.

Answer 3

Como se ha explicado anteriormente, la función zeta tiene un factor para cada terminación de $\mathbb{Q}$ . El factor en $\mathbb{R}$ tiene que ver con la integración de $e^{- \pi x^2}$ y el factor en $\mathbb{Q}_p$ tiene que ver con la integración de la función característica de $\mathbb{Z}_p$ .

Algunos se preguntarán por qué se han elegido estas dos funciones. La respuesta es sencilla: ambas son sus propias transformadas de Fourier.

Además, creo que nadie ha recomendado el libro de Terry Tao puesto expositivo en este material todavía. Es bastante bueno.

Answer 4

También puede ser interesante el punto de la "ecuación funcional local", es decir, que de hecho la función Gamma (con la potencia de $\pi$ ) es sólo una posibilidad (optimizada), y de alguna manera hacer una elección subóptima no importa realmente:

Para una función de Schwartz $f$ en $\mathbb R$ , dejemos que $\Gamma(f,s)=\int_{\mathbb R^\times} |x|^s\,f(x)\;{dx\over |x|}$ . El factor Gamma habitual se obtiene tomando una gaussiana. La ecuación funcional local (probada cambiando las variables en las integrales definitorias, en el rango $0<{\rm Re}(s)<1$ es $$\Gamma(f,s)\cdot \Gamma(\hat{g},1-s)\;=\; \Gamma(\hat{f},1-s)\cdot \Gamma(g,s)$$ para dos funciones de Schwartz cualesquiera $f,g$ . Y el argumento de Riemann demuestra $$ \Gamma(f,s)\cdot \zeta(s) \;=\; \Gamma(\hat{f},1-s)\cdot \zeta(1-s) $$ para cualquier Schwartz $f$ .

Answer 5

En múltiples respuestas y comentarios ya se ha señalado que el papel conceptual de $\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ viene del punto de vista de Iwasawa y Tate, que para $\text{Re}(s) > 1$ crea esta función como $\int_{\mathbf R^\times} e^{-\pi x^2}|x|^s\,dx/|x|$ una integral sobre el grupo multiplicativo $\mathbf R^\times$ de la función $e^{-\pi x^2}$ que es autodual para la transformada de Fourier en el grupo aditivo $\mathbf R$ en relación con la autodualidad $\langle x,y\rangle = e^{2\pi ixy}$ o $\langle x,y\rangle = e^{-2\pi ixy}$ en $\mathbf R$ . (Si utilizamos otra autodualidad de $\mathbf R$ entonces $e^{-ax^2}$ sería autodual para algunos $a \not= \pi$ en su lugar).

También se ha dicho en otra parte de esta página que hay muchos funciones autoduales de Schwartz en $\mathbf R$ o más específicamente muchos incluso funciones autoduales de Schwartz en $\mathbf R$ para Schwartz $f$ en $\mathbf R$ y $\text{Re}(s) > 0$ tenemos $\int_{\mathbf R^\times} f(x)|x|^s\,dx/|x| = \int_{0}^\infty (f(x) + f(-x))x^s\,dx/x$ y esto es $0$ cuando $f$ es impar, así que también podemos asumir $f$ es incluso desde $f(x) + f(-x)$ es uniforme de todos modos y queremos evitar la tonta ecuación $0=0$ aunque sea una ecuación válida.

Para Schwartz arbitrario $f$ en $\mathbf R$ , set $\Gamma_f(s) = \int_{0}^\infty f(x)x^s\,dx/x$ que es una ligera modificación de la función $\Gamma(f,s)$ en la respuesta de Paul Garrett (su $\Gamma(f,s)$ es mi $\Gamma_{f(x)+f(-x)}(s)$ por una fórmula que escribí en el párrafo anterior). Esta función converge absolutamente y es analítica para $\text{Re}(s) > 0$ y se extiende meromórficamente a $\mathbf C$ por integración repetida por partes (de la misma manera que la $\Gamma$ -La función puede ampliarse a $\mathbf C$ a partir de su definición integral para $\text{Re}(s) > 0$ ), y la tesis de Tate demuestra que existe una ecuación funcional general $\Gamma_f(s)\zeta(s) = \Gamma_{\hat{f}}(1-s)\zeta(1-s)$ donde $\hat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$ (para la autodualidad en $\mathbf R$ dado por $\langle x,y\rangle = e^{-2\pi ixy}$ ), por lo que si $f$ es autodual entonces obtenemos $$\Gamma_f(s)\zeta(s) = \Gamma_{f}(1-s)\zeta(1-s),$$ una ecuación funcional muy bonita, especialmente si utilizamos incluso $f$ para evitar $0 = 0$ .

Todo lo que he escrito hasta ahora ha aparecido explícita o implícitamente en algunos de los otros comentarios o respuestas. Dado que hay muchos funciones pares de Schwartz autoduales $f$ en $\mathbf R$ ¿Qué es lo que pasa con la elección $f(x) = e^{-\pi x^2}$ , lo que lleva a $\Gamma_f(s) = (1/2)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ (un extra $1/2$ en ambos lados de la ecuación funcional se puede cancelar) que es tan bonito? Todavía no he visto señalada la siguiente propiedad: con esta elección de $f$ y la familiaridad con el $\Gamma$ -función sabemos $\Gamma_f(s) \not= 0$ para $\text{Re}(s) > 1$ (de hecho para $\text{Re}(s) > 0$ ), por lo que $\Gamma_f(s)\zeta(s) \not= 0$ para $\text{Re}(s) > 1$ de $\zeta(s)$ siendo allí no evanescente, y entonces por la ecuación funcional $\Gamma_f(s)\zeta(s) \not= 0$ para $\text{Re}(s) < 0$ lo que significa que todos los ceros de $\Gamma_f(s)\zeta(s)$ tienen $0 \leq \text{Re}(s) \leq 1$ . Si desea utilizar una función de Schwartz totalmente aleatoria para $f$ para definir un factor $\Gamma_f(s)$ que completa la función zeta de Riemann, obtendrá la bonita ecuación funcional no trivial mostrada arriba, pero ¿cómo va a utilizar $\Gamma_f(s)\zeta(s)$ para analizar la ubicación de los ceros de $\zeta(s)$ (incluyendo el descubrimiento de sus ceros triviales, los consideres o no importantes) si no sabes dónde $\Gamma_f(s)$ tiene sus ceros y polos?

Así que aunque hay muchas funciones incluso de Schwartz $f$ en $\mathbf R$ además de $e^{-\pi x^2}$ que podrías utilizar para obtener una bonita ecuación funcional multiplicando $\zeta(s)$ por $\Gamma_f(s)$ La razón por la que la elección $f(x) = e^{-\pi x^2}$ es tan conveniente es que realmente conozca los ceros y polos de $\Gamma_f(s) = (1/2)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ : no tiene ceros en $\mathbf C$ y tiene polos simples en $0, -2, -4, \ldots$ . Porque incluso Schwartz autodual $f$ en $\mathbf R$ que no son simples modificaciones de $e^{-\pi x^2}$ ¿Cómo es de factible determinar si $\Gamma_f(s) \not= 0$ para $\text{Re}(s) > 1$ (o $\text{Re}(s) > 0$ )? El método de continuación meromorfa $\Gamma_f(s)$ del semiplano $\text{Re}(s) > 0$ donde es analítico para todos los $\mathbf C$ muestra que sus únicos polos posibles están en $0, -1, -2, -3, \ldots$ con pedidos como máximo $1$ y el residuo en $s = -n$ es $(-1/n!)\int_0^\infty f^{(n+1)}(x)\,dx$ que por el Teorema Fundamental del Cálculo es $(-1/n!)(f^{(n)}(\infty) - f^{(n)}(0)) = f^{(n)}(0)/n!$ . Por lo tanto, se podrían determinar los polos de $\Gamma_f$ viendo cuando $f^{(n)}(0)$ es 0 y no 0, pero ¿cómo vas a determinar dónde está el ceros de $\Gamma_f$ son o que no hay ceros? (EDIT: para incluso $f$ sus derivadas de orden impar desaparecen en $0$ por lo que el residuo en $-n$ desaparece cuando $n$ es impar, lo que significa que los polos de $\Gamma_f(s)$ sólo puede estar en $n = 0, -2, -4, -6, \ldots$ . Estos son todo polos simples de $\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ que no tiene ceros, por lo que $G(s) := \Gamma_f(s)/(\pi^{-s/2}\Gamma(s/2))$ es una función completa. Así, $\Gamma_f(s) = G(s)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ con $G$ completo, así que $\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ un "gcd holomórfico" de todos los $\Gamma_f(s)$ para las funciones pares de Schwartz $f$ en $\mathbf R$ . El factor exponencial $\pi^{-s/2}$ era un poco irrelevante para arrastrar a través del cálculo ya que no tiene ceros o polos, pero tradicionalmente se ve junto a $\Gamma(s/2)$ así que lo usé. Esto responde a los comentarios de Will Sawin y Venkataramana).

Ejemplo: la función $f(x) = 1/(e^{\pi x} + e^{-\pi x})$ es una función de Schwartz par y autodual en $\mathbf R$ . ¿Puede alguien determinar de forma autónoma (es decir, sin utilizar $\zeta(s)$ ) donde $\Gamma_f(s)$ tiene sus ceros en $\mathbf C$ o determinar si no tiene ceros?

Edición: Ignorando el descabellado ejemplo de arriba, en algunos comentarios de abajo elaboro un ejemplo con $f(x)$ siendo un polinomio de Hermite de 4º grado por una gaussiana y encontrar que $\Gamma_f(s)$ tiene dos ceros con parte real positiva, en $s = (1\pm \sqrt{-2})/2$ .