Integral de matriz exponencial: $\int_0^T e^{At}\: e^{A^{\top}t} \: \mathrm{d}t $

Question

Considere una matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ¿hay alguna manera de derivar una solución de forma cerrada de:

$$\int_0^T e^{At}\: e^{A^{\top}t} \: \mathrm{d}t $$

En general, $A$ y $ A^{\top}$ no se desplazan así $e^{At}\: e^{A^{\top}t} \neq e^{(A+A^{\top})t}$ .

Answer 1

Una respuesta tardía, pero aquí hay una observación. Si queremos el límite como $T \to \infty$ (suponiendo que este límite exista), es decir, la matriz $$ M = \int_0^\infty e^{At} e^{A^\top t}dt, $$ entonces se puede observar que $M$ es la solución a la ecuación de Lyapunov de tiempo continuo $$ AM + MA^T = -I. $$ Con vectorización esta solución puede expresarse como $$ M = -\operatorname{vec}^{-1}[(I \otimes A + A \otimes I)^{-1}\operatorname{vec}(I)]. $$