¿Cuál es el límite no relativista del campo electromagnético cuantificado?

Question

No soy físico, así que esta pregunta puede ser ingenua... Para un campo escalar real, la cuantificación da la ecuación de Klein-Gordon y el límite no relativista de ésta da el campo de Schrödinger. ¿Cuál es la ecuación o campo equivalente a partir del campo electromagnético? Es decir, cuantificando el campo EM (campos E y B) y prescindiendo de la covarianza de Lorentz, ¿qué tipo de ecuación o campo se obtiene? Es decir, cuál es el equivalente de la ecuación/campo de Schrödinger para un campo EM (en lugar de un campo escalar).

Tengo una aplicación que observa la estructura del campo EM pero no la covarianza de Lorentz.

Answer 1

Como los campos electromagnéticos en el vacío siempre se mueven a velocidad $c$ no existe una aproximación no relativista al electromagnetismo. En otras palabras, los fotones tienen una masa de reposo nula y, por tanto, no tienen un marco de reposo.

Answer 2

En primer lugar, hay que distinguir entre la primera cuantificación y la segunda cuantificación. En la primera cuantificación los observables físicos como el momento, la posición y la energía se convierten en operadores, en su mayoría diferenciales. Sin embargo, en muchas ocasiones los físicos consideran la ecuación de Klein-Gordon como ecuación clásica para un campo $\psi$ que en la segunda cuantificación adquiere la condición de operador. Para reducir la posible confusión: No hablaremos aquí de la segunda cuantificación. En lo sucesivo sólo hablaremos de la "primera" cuantificación.

¿Qué ocurre en la primera cuantificación? Generalmente consiste en considerar una relación energía-momento de una partícula como una relación de dispersión de una onda.

Así, en la mecánica no relativista, la relación momento-energía de una partícula en un potencial $U$ es:

$$E = \frac{p^2}{2m} + U$$

En particular, sabemos por el experimento de Davisson-Germer que las partículas también pueden comportarse como ondas. Para encontrar la ecuación de onda que pertenece al movimiento de una partícula se considera la relación momento-energía como relación de dispersión de la onda con el vector de onda $k$ :

$$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + U$$

sustituir la energía por $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ y el vector de onda por $-i\frac{\partial}{\partial x}$ obtenemos inmediatamente la ecuación de Schroedinger.

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial^2 x} + U$$

La sustitución de la energía y el vector de onda por operadores diferenciales puede considerarse como el proceso de primera cuantificación. Porque ahora tratamos con operadores (diferenciales) para la descripción de las cantidades físicas.

Para la ecuación de Klein-Gordon es lo mismo. Sin embargo, ahora se considera la relación energía-momento relativista (sin potencial) de una partícula:

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

Sustitución de la energía por $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ y el impulso por $-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ obtenemos la ecuación de Klein-Gordon:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial^2 t} = \frac{\partial^2}{\partial^2 x} - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \quad \longrightarrow \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial^2 t} - \frac{\partial^2\psi}{\partial^2 x} +\frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\psi=0$$

Por supuesto, uno deja operar los operadores sobre algún campo de onda o en física no relativista sobre una función de onda $\psi$ que se propaga según la relación de dispersión correspondiente.

¿Qué hay del campo electromagnético (EM)? En realidad, para hacerlo comprensible sólo hay que ponerlo en el contexto adecuado. En realidad, el proceso de cuantificación va en la otra dirección, ya que en los dos casos anteriores se consideraba un movimiento de partículas que se traducía en un movimiento ondulatorio. Sin embargo, para el campo EM es al revés. Ya se tiene un movimiento ondulatorio (al menos así se conoce por primera vez el campo electromagnético) y se le asocia un movimiento de partícula. Este paso se realiza formalmente en la segunda cuantificación, pero como aquí se habla de la primera cuantificación, queda fuera del alcance. Pero para que la analogía con los dos casos anteriores sea perfecta, podemos partir de la imagen de la partícula del campo EM, los fotones, y recuperar la ecuación de onda correspondiente de la misma manera que en los dos casos anteriores. La relación energía-momento de un fotón es:

$$E=pc \quad\quad \text{or better in this context} \quad\quad E^2 = (pc)^2$$

En realidad se trata de un caso especial de la ecuación de Klein-Gordon con masa $m=0$ . Por lo tanto, considerando la relación energía-momento como una relación de dispersión de una onda, seguida de la sustitución de la energía y el momento por los correspondientes operadores diferenciales ( $E = i\hbar \frac{\partial }{\partial t}$ y $p= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ ) obtenemos como ecuación de onda para el campo electromagnético:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial^2 t} = \frac{\partial^2}{\partial^2 x}$$

La es una relación bien conocida, en realidad se aplica a las para componentes del potencial de 4 vectores:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A^\mu}{\partial^2 t} = \frac{\partial^2 A^\mu}{\partial^2 x}$$

Así que podríamos concluir que la función de onda del fotón es el potencial vectorial. Atención, una cosa es la ecuación-analogía y otra las interpretaciones de estas ecuaciones. Sí se podría decir que hasta cierto punto el potencial vectorial es la función de onda del fotón. Sin embargo, no tiene todas las propiedades de la función de onda que resuelve la ecuación de Schroedinger. Esto se debe principalmente al aspecto relativista de la ecuación de onda del fotón, cuyos detalles están aquí fuera del alcance.

Por cierto, la ecuación de onda del fotón es perfectamente covariante de Lorentz.

Uno podría preguntarse sobre el número correcto de grados de libertad del campo fotónico, esta cuestión también está aquí fuera de alcance (ver libertad gauge).