¿Cómo puede este teorema sobre funciones débilmente medibles en $\sigma$ -¿se pueden deducir los espacios de medida finita del caso de los espacios de medida finita?

Question

Estoy leyendo un teorema sobre la mensurabilidad de las funciones vectoriales en una nota de análisis funcional:

Teorema 3.6.1. Si $X$ es un espacio separable y metrizable localmente convexo, $(\Omega, \Sigma, \mu)$ es un $\sigma$ -espacio de medida finita, y $f : \Omega \to X$ es débilmente medible, entonces $f$ es fuertemente medible.

La prueba comienza

Podemos limitarnos al caso de las medidas finitas.

¿Podría alguien explicar cómo el caso general (cuando $(\Omega,\Sigma,\mu)$ es " $\sigma$ -finito") se puede deducir del caso "finito"?

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Para completar, he aquí algunas definiciones. Sea $( \Omega, \Sigma, \mu )$ sea un espacio de medidas, sea $X$ sea un espacio Hausdorff localmente convexo, y sea $f : \Omega \to X$ . Decimos que

• $f$ es medible si $f^{-1} (G) \in \Sigma$ para todo conjunto abierto $G \subset X$ .
• $f$ es débilmente medible si $\varphi \circ f$ es medible para cada $\varphi \in X^*$ .
• $f$ es fuertemente medible si existen funciones simples $f_n : \Omega \to X$ tal que $f(\omega) = \lim_{n \to \infty} f_n(\omega)$ para $\mu$ -casi todos $\omega \in \Omega$ . (A función simple es una función medible que sólo toma un número finito de valores).

Se puede ver una imagen de la prueba, y las definiciones que la rodean aquí .

Answer 1

Una estrategia general en los escenarios en los que se intenta extender una proposición como ésta de un espacio de medidas finito a un $\sigma$ -finito es romper el $\sigma$ -El espacio infinito en cuestión se divide en un número contable de trozos medibles disjuntos de medida finita y se aplica el teorema a cada trozo individualmente, para luego tratar de recomponer las cosas.

Para ello, asuma las hipótesis de la pregunta. A continuación, escriba $\Omega=\cup_{n\in \mathbb{N}}U_n$ , donde el $U_n$ son disjuntos y medibles (¿por qué podemos hacer esto?). Restringiendo f, obtenemos las funciones $f_n:U_n\rightarrow X$ definido como $f_n=f|_{U_n}$ que debe convencerse de que son débilmente medibles en $U_n$ . Entonces, aplicando la proposición en el caso finito a cada $f_n$ obtenemos una secuencia de funciones simples $\phi^n_m$ convergente a.e. (en $U_n$ ) a $f_n$ .

Para obtener una secuencia de funciones simples definidas en $\Omega$ que converge a $f$ definimos $\psi_k:\Omega\rightarrow X$ definiéndolo a trozos en cada $U_n$ de la siguiente manera: Para $k\in\mathbb{N}$ dejar $\psi_k(x)=\phi^n_k(x)$ para $x\in U_n$ , $n\le k$ y $\psi_k(x)=0$ en otro lugar. Convénzase de que $\psi_k$ es simple (pista: el hecho de que asuma un número finito de valores es sencillo, que sea medible se deduce de que hayamos especificado que $U_n$ debe ser medible).