¿Cuándo es $x=\{ x\}$ ?

Question

Inspirado por este pregunta: ¿Cuándo/para qué $x$ ¿tenemos $x=\{ x\}$ ?

Answer 1

La mayoría de los matemáticos suponen que la teoría de conjuntos de fondo es ZFC. En esta teoría todo conjunto no vacío tiene un $\in$ -elemento mínimo.

Esto se conoce como axioma de regularidad o axioma de fundamento. Afirma que si $A$ es un conjunto no vacío, entonces hay algún $z\in A$ tal que $z\cap A=\varnothing$ .

A su vez, esto implica que $x\notin x$ de lo contrario, si $x=\{x\}$ entonces para todos $y\in x$ tenemos $y=x$ y por lo tanto $y\cap x\neq\varnothing$ .

Sin embargo en otras teorías de conjuntos, por ejemplo la de Quine Nuevos cimientos e incluso podemos crear un modelo de ZF-Reg, es decir, todos los axiomas de ZF, excepto la regularidad. En dicho modelo hay una clase definible que es un modelo de ZF completo.

Las construcciones son bastante técnicas, pero podemos llegar a una situación maravillosa en la que $a\in a$ o incluso $P(a)\in a$ donde $P$ para denotar el conjunto de potencias.

Estos modelos fueron bastante útiles en las pruebas de independencia a finales de los años 50 y principios de los 60, sobre todo gracias a Specker (y sus alumnos) que utilizaron los conjuntos $x=\{x\}$ como urelementos (elementos no conjuntos) relativamente al modelo interno de ZF. Un ejemplo notable de una prueba utilizada este método fue un espacio vectorial sin base.