Aunque este concepto se utiliza mucho en física, es realmente desconcertante (al menos para los principiantes) que sólo haya que multiplicar dos funciones (o la función por sí misma) a diferentes valores del parámetro y luego promediar sobre el dominio de la función manteniendo la diferencia entre esos parámetros:
$$C(x)=\langle f(x'+x)g(x')\rangle$$
¿Hay algún ejemplo ilustrativo relativamente sencillo que permita intuir las funciones de correlación en física?
La función de correlación que escribiste es una correlación completamente general de dos cantidades, $$\langle f(X) g(Y)\rangle$$ Sólo hay que utilizar el símbolo $x'$ para $Y$ y el símbolo $x+x'$ para $X$ .
Si el entorno -el vacío o la materia- es invariante traslacional, significa que sus propiedades no dependen de las traslaciones globales. Por lo tanto, si se cambia $X$ y $Y$ por la misma cantidad, por ejemplo, por $z$ la función de correlación no cambiará.
En consecuencia, puede desplazarse por $z=-Y=-x'$ lo que significa que el nuevo $Y$ será cero. Así que $$\langle f(X) g(Y)\rangle = \langle f(X-Y)g(0)\rangle = \langle f(x)g(0) \rangle$$ Como se puede ver, para los sistemas traslacionalmente simétricos, la función de correlación sólo depende de la diferencia de las coordenadas, es decir, de la separación de los argumentos de $f$ y $g$ que es igual a $x$ en su caso.
Así que esto debería haber explicado la dependencia de $x$ y $x'$ .
Ahora bien, ¿qué es un correlador? Clásicamente, es un promedio sobre la distribución probabilística $$\langle S \rangle = \int D\phi\,\rho(\phi) S(\phi)$$ Esto es válido para $S$ siendo también el producto de varias cantidades. La integral recorre todas las configuraciones posibles del sistema físico y $\rho(\phi)$ es la densidad de probabilidad de la configuración particular $\phi$ .
En la mecánica cuántica, la función de correlación es el valor de la expectativa en el estado real del sistema, que suele ser el estado básico y/o un estado térmico. Para un estado básico que es puro, tenemos $$\langle \hat{S} \rangle = \langle 0 | \hat{S} | 0 \rangle$$ donde el vector 0-ket es el estado básico, mientras que para un estado térmico expresado por una matriz de densidad $\rho$ la función de correlación se define como $$\langle \hat{S} \rangle = \mbox{Tr}\, (\hat{S}\hat{\rho})$$ Pues bien, las funciones de correlación son funciones que conocen la correlación de las magnitudes físicas $f$ y $g$ en dos puntos. Si la correlación es cero, parece que las dos cantidades son independientes entre sí. Si la correlación es positiva, parece que las dos cantidades tienen probablemente el mismo signo; cuanto más positiva sea, más correlacionadas estarán. Están correlacionadas con signos opuestos si la función de correlación es negativa.
En la teoría cuántica de campos, las funciones de correlación de dos operadores -tal y como has escrito- se conoce como propagador y es la expresión matemática que sustituye a todas las líneas internas de los diagramas de Feynman. Te dice cuál es la amplitud de probabilidad de que la partícula correspondiente se propague desde el punto $x+x'$ al grano $x'$ . Suele ser distinto de cero sólo dentro del cono de luz y depende únicamente de la diferencia de coordenadas. Una excepción a esto es el Propagador de Feynman en QED. También es distinto de cero fuera del cono de luz, pero invoca a las antipartículas, que cancelan esta contribución distinta de cero fuera del cono de luz, y preservan la causalidad.
Las funciones de correlación que implican un número positivo arbitrario de operadores se conocen como funciones de Green o $n$ -si un producto de $n$ cantidades está entre los paréntesis. En cierto sentido, el $n$ -Las funciones de punto lo saben todo sobre las cantidades dinámicas calculables que describen el sistema físico. El hecho de que todo pueda expandirse en funciones de correlación es una generalización de las expansiones de Taylor al caso de infinitas variables.
En particular, la amplitud de dispersión para $n$ partículas externas (el número total, incluyendo las entrantes y las salientes) puede calcularse a partir del $n$ -funciones de punto. Los diagramas de Feynman mencionados anteriormente son un método para hacer este cálculo de forma sistemática: un correlacionador complicado puede reescribirse en una función de las funciones de 2 puntos, los propagadores, contraídos con los vértices de interacción.
Hay muchas palabras para describir físicamente una función de correlación en diversos contextos, como las funciones de respuesta, etc. La idea es que se inserta una impureza o una señal en $x'$ , esa es tu $g(x')$ y se estudia lo que el campo $f(x+x')$ en el punto $x+x'$ se ve afectado por la impureza $g(x')$ .
A muy ejemplo intuitivo para las funciones de correlación se puede ver en el láser moteado metrología .
Si haces brillar la luz sobre una superficie que es rugosa en comparación con la longitud de onda, la señal reflejada resultante será de alguna manera al azar . Esto también se puede afirmar como que no se puede decir desde un punto de una señal cómo es la vecina - son no correlacionado . Este campo se suele denominar patrón de manchas .
Este hecho puede ser utilizado. Supongamos que se toma una imagen $A(x,y)$ de dicho campo disperso aleatorio, un movimiento de la imagen $$(x,y)\rightarrow (x+\delta_x, y+\delta_y) = (x',y')$$ así $$B(x,y) \approx A(x',y')$$
será claramente visible y como toda la información es estadística, se encuentra que
$$C(\Delta_x,\Delta_y) = \int B(x,y) A(x + \Delta_x, y + \Delta_y) dx dy $$
sólo tendrá una "gran" contribución en $(\Delta_x,\Delta_y) \equiv (\delta_x, \delta_y)$ de alguna forma de pico. El anchura del pico vendrá dada por algunas propiedades físicas de la iluminación, la rugosidad de la superficie, etc. - corresponde directamente a la variación local del campo.
Si tuviéramos ahora en el campo algunos variación periódica podríamos ver que $C$ tendrá varios picos correspondiente a la imagen (o campo) autosimilaridad .
Así, el análisis de la correlación de una cantidad le dará información sobre la rapidez con la que cambia y si es de alguna manera autosimilar.
Espero que no le moleste que haya elegido una aplicación que viene de un lugar más práctico punto de vista.
Sinceramente
Robert
P.D.: Se puede encontrar más en todos los riquísimos trabajos realizados por Goodman .
Excelente pregunta, Kostya. Lubos ya dio una respuesta detallada utilizando argumentos generales en el lenguaje de la QFT.
En astrofísica y cosmología, sin embargo, hay otra razón, muy simple, por la que utilizamos las funciones de correlación todo el tiempo. Resulta que el valor medio de la función $f(\vec{x})$ , denotado como $\langle f(\vec{x})\rangle$ a menudo no puede ser predicha por el modelo teórico (por ejemplo, modelo de Big Bang caliente con etapa inflacionaria al principio, materia oscura fría en tiempos tardíos, etc... o cualquier otro modelo que desee considerar) - mientras que su correlación $\langle f(\vec{x})f(\vec{y})\rangle$ puede se puede predecir. Aquí $f$ puede referirse a cualquier cantidad cosmológica observable, y $\vec{x}$ y $\vec{y}$ se refieren a coordenadas espaciales.
El ejemplo más común sería considerar el exceso de densidad de la materia oscura, $f(\vec{x})\equiv \delta\rho(\vec{x})/\rho$ , donde $\rho$ es la densidad media (cuyas unidades son kilogramos por metro cúbico, por ejemplo) y $\delta\rho(\vec{x})$ es el exceso de densidad o infradensidad en el lugar $\vec{x}$ y sobre alguna región que no especificaré para simplificar el argumento. Por definición, la media de $f$ es cero, por lo que indicamos explícitamente que no nos interesa la media (alternativamente, no podemos obtener fácilmente la densidad media del universo a partir de los primeros principios). Pero la función de correlación, $\langle \delta\rho(\vec{x})\delta\rho(\vec{y})/\rho^2\rangle $ puede relacionarse con los parámetros fundamentales del universo, en particular los detalles de la época inflacionaria, la densidad de la materia oscura, etc. Los detalles de esto son complicados, y se enseñan en un curso de posgrado en cosmología. Basta con decir que la teoría no predice la media de la función (función de correlación de 1 punto), sino sus (co)varianzas (función de correlación de 2 puntos).
Intuitivamente, la función de correlación de dos puntos de $\delta\rho/\rho$ está relacionada con la "probabilidad de que, dada una región sobredensa de materia oscura en el lugar $\vec{x}$ hay una región sobredensa en el lugar $\vec{y}$ ", y esta probabilidad viene determinada por la buena ley de la gravedad, y puede predecirse a partir de los primeros principios.
La teoría también predice, en principio, los 3 puntos (por ejemplo $\langle f(\vec{x})f(\vec{y})f(\vec{z})\rangle$ y las funciones de correlación de puntos más altos, pero ambas son más difíciles de calcular teóricamente y de medir observacionalmente. Sin embargo, existe un subcampo floreciente en la física de partículas y la cosmología que consiste en predecir teóricamente y medir observacionalmente estas funciones de correlación de orden superior.
Un último ingrediente en todo esto es el papel de la medición de la función de correlación. El signo de la media angular, $\langle\cdot\rangle$ implica que debemos promediar sobre diferentes realizaciones del sistema -es decir, el universo- en el mismo modelo cosmológico subyacente . Esto es claramente imposible, ¡ya que sólo tenemos un universo que medir! En su lugar, asumimos la homogeneidad estadística (que es lo mismo que la invariancia traslacional del post de Lubos). Entonces, en lugar de promediar los diferentes universos, los cosmólogos promedian $f(\vec{x})f(\vec{y})$ en diferentes lugares ( $\vec{x}, \vec{y}$ ) en nuestro universo que tienen una distancia fija entre los dos puntos $|\vec{x}-\vec{y}|$ . De esta manera, utilizando el supuesto de homogeneidad estadística, podemos obtener buenas medidas de la función de correlación de cualquier cantidad que deseemos.
Hay otra razón, aunque no es intuitiva. Un proceso estocástico se caracteriza casi completamente por su función de autocorrelación. Más concretamente, si el proceso es estacionario (por supuesto, todos estos métodos sólo funcionan después de que se haya eliminado la tendencia de un proceso y se hayan analizado y filtrado todos los ciclos primero) y gaussiano, y centrado, entonces está completamente caracterizado por la función de autocorrelación. Esto es análogo al hecho elemental de que una variable aleatoria normal está completamente caracterizada por su media y su desviación estándar.
Pero espera. Hay más. Aunque el proceso no sea gaussiano, se caracteriza si se conoce no sólo la autocorrelación habitual, que también se llama funciones de correlación de dos puntos, sino si se conocen también todas las autocorrelaciones superiores. (es decir, de tres puntos, de cuatro puntos, etc.). Esto es análogo al (difícil) "problema de los momentos". resuelto por mi antepasado (genealogía académica del doctorado) Marcel Riesz y ese genio alcohólico de Suecia, Carlman, que dice que si se conocen todos los momentos de una variable aleatoria, ésta está determinada hasta la equivalencia.
Y, en la práctica, son las correlaciones las más accesibles a la medición. La mayoría de los experimentos con partículas, incluidos los famosos experimentos de desigualdad de Bell de Aspect, son mediciones de correlaciones. Es probable que esto tenga un profundo significado filosófico....
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