Teorema 4.3 aproximación de funciones medibles con funciones escalonadas

Question

Estaba leyendo el Análisis Real de Stein y Shakarchi y me quedé atascado entendiendo esta prueba:

Definición: Una función escalonada es $$ f = \sum_{k=1}^{N} a_k \chi_{R_k} $$ donde cada $R_k$ es un rectángulo, y $a_k$ son constantes. Un rectángulo (cerrado) en $\mathbb{R}^d$ viene dada por $$ R = [a_1, b_1] \times \cdots \times [a_d, b_d] .$$

Teorema 4.3 (p32): Supongamos que $f$ es medible en $\mathbb{R}^d$ . Entonces existe una secuencia de funciones escalonadas $\{ \psi_{k} \}_{k=1}^{\infty}$ que converge puntualmente a $f(x)$ a.e.

Prueba: Por el teorema anterior, existen funciones simples tales que $\lim_{k \rightarrow \infty} \phi_k(x) = f(x)$ para todos $x$ . Para aproximar cada $\phi_k$ por una función escalonada. Recordamos la parte (iv) del Teorema 3.4, que dice que si $E$ es un conjunto medible de medida finita, existen cubos $Q_1, \ldots, Q_N$ tal que $m(E \Delta \bigcup_{j=1}^{N} Q_j) \le \epsilon$ . Podemos suponer que estos cubos son rectángulos casi disjuntos. Tomando rectángulos cerrados $\tilde{Q_j}$ contenida en $Q_j$ encontramos una colección $\{ \tilde{Q_j} \}_{j=1}^N $ que satisfagan $m(E \Delta \bigcup _{j=1}^{N} \tilde{Q_j}) \le 2 \epsilon.$

De esta observación y de la definición de función simple se deduce que para cada $k$ existe una función escalonada $\psi _k $ y una función medible $F_k$ para que $m(F_k) < 2^{-k}$ y $\phi_k(x) = \psi_k(x)$ para todos $x \notin F_k.$

No entiendo por qué se mantiene la parte en cursiva.

En primer lugar, ¿qué es exactamente esto? $F_k$ y, en segundo lugar, cómo definimos $\psi_k$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

De esta observación: Para cada $k\ge 1$ existe una colección de rectángulos cerrados y disjuntos $\{\tilde{Q}_j^{(k)}\}_{j=1}^{N_k}$ tal que $m(E\Delta\bigcup_{j=1}^{N_k}\tilde{Q}_j^{(k)})\le 2^{-k}$ . Sea $\psi_k(x)=\sum_{j=1}^{N_k}\chi_{\tilde{Q}_j^{(k)}(x)}$ . Desde $$E_k=\{x:f(x)\ne\psi_k(x)\}=\{x:\chi_E(x)\ne\psi_k(x)\}\subset E\Delta\Bigl(\bigcup_{j=1}^{N_k}\tilde{Q}_j^{(k)}\Bigr),$$ Por lo tanto, $m(E_k)\le 2^{-k}$ . Ahora dejemos que $F_k=\bigcup_{j=k+1}^\infty E_j$ entonces $m(F_k)\le 2^{-k}$ y si $x\in F_k^c=\bigcap_{j=k+1}^\infty E_j^c$ tenemos $$ f(x)=\psi_j(x),\qquad \forall j\ge k+1,\qquad\text{and}\qquad\lim_{j\to\infty}\psi_j(x)=f(x).$$ Por lo tanto, dejemos que $F=\bigcap_{k=1}^\infty F_k=\lim\limits_{k\to\infty}\!\!\downarrow\!\! F_k$ entonces $m(F)=0$ y $$\lim_{j\to\infty}\psi_j(x)=f(x)\qquad \forall x\in F^c=\bigcup_{k=1}^\infty F_k^c. $$